在數學中，某個集合 X 上的 σ-代数（）又叫 σ-域（），是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性（因此对于可數個交集运算也是封闭的）。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。

动机
σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。

测度
测度是给X的子集赋予非负实数值的函数；可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的不交集。

定义
{{math theorem
| name = 定義
| math_statement =

X 為一集合，假設有子集族 \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)（ \mathcal{P}(X) 代表 X 的冪集）滿足下列條件

X \in \mathcal{F}

(\forall A \in \mathcal{F})

\left\{
(A \in \mathcal{F}) \Rightarrow [(X - A) \in \mathcal{F}]
\right\}

(\forall \mathcal{A})

\left\{
[(\mathcal{A} \cong \N)
\wedge
(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})]
\Rightarrow
\left(
\bigcup \mathcal{A} \in \mathcal{F}
\right)
\right\}
則稱 \mathcal{F} 是 X 的一個 σ-代數。
}}
注意到定義第3條的\mathcal{A} \cong \N，意思是 \mathcal{A} 和自然数系 \N 等势，直觀的意思就是 \mathcal{A} 裡的元素跟自然數一樣多。

以上定義的直觀意義為：一群 X 的子集合所組成的集合 \mathcal{F} ，为 X 上的一个 σ-代数意思是滿足：

• X 本身就是 \mathcal{F} 的元素；
• 如果集合 A 在 \mathcal{F} 中，那么它的补集 X - A 也在 \mathcal{F}中；
• 如果有可數个集合 A_1 , A_2, \cdots 都在 \mathcal{F} 中，那么它们的聯集也在\mathcal{F} 中。

在測度論裡有序对 \left(X,\mathcal{F}\right) 會被称为一个可测空间。而任何在 \mathcal{F} 中的子集 A，則称为可测集合（measurable set）；而在概率论中， \mathcal{F} 被稱為事件族（family of events）， \mathcal{F} 中的子集 A 則称为事件。

例子

• X上最小的σ-代数是\{ \varnothing, X \}。
• X上最大的σ-代数是X的冪集\mathcal{P}(X)（也就是所有 X 的子集合所組成的集合）

最小σ-代数
{{math theorem
| math_statement =

設 \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X) 是 X 的一個子集族，則：

: \sigma(\mathcal{F})
:= \bigcap \bigg\{ \Sigma
\,\bigg|\,
(\Sigma\text{ is a sigma algebra of } X) \wedge
(\mathcal{F} \subseteq \Sigma)
\bigg\}
也是X 的σ代数。
| title = 定理
}}

根據以上的定理，可以做以下的定義：

{{math theorem
| name = 定義
| math_statement =

\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X) 是 X 的一個子集族，則：

: \sigma(\mathcal{F})
:= \bigcap \bigg\{ \Sigma
\,\bigg|\,
(\Sigma\text{ is a sigma algebra of } X) \wedge
(\mathcal{F} \subseteq \Sigma)
\bigg\}
稱為包含 \mathcal{F} 的最小σ-代数。
}}

例子

• 设集合X=\{a,b,c,d\}，那么 \sigma(\{\{a\}\}) = \{\varnothing, \{a\}, \{b, c, d\}, X\} 是集合X上含有 \{a\} 的σ-代数中最「小」的一个。

性质
σ-代数是一个代数也是一个λ系，它对集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。

参考来源