在集合代数中，域，或者代数，是指一种有序对\,(\Omega,\mathcal{F})\,，其中 \Omega 是集合，\,\mathcal{F}\, 是由集合 \Omega 的一些子集构成的一种集类，它满足 \Omega 自身是它的元素，且对加法（有限并）封闭和乘法（有限交）及逆（余集）运算封闭。在这样的集类中，空集类似于 0，因为和它相加（并）的任何集合结果还是自身；全集相当于 1，因为和它相乘（交）的任何集合还是自身。
也可把满足上述条件的集类\,\mathcal{F}\,称为域或代数
定义
非空集类 \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\Omega) 若满足以下条件：
:# \Omega \in \mathcal{F}；
:# \forall A,B\in \mathcal{F},A\cup B\in \mathcal{F} ,A\cap B\in \mathcal{F}(对有限并、有限交封闭)；
:# \forall A\in \mathcal{F},A^{c}\in \mathcal{F}(对补集运算封闭).
则称其为 \Omega 上的一个代数。
或者可以把代数定义为有元素 \Omega 和空集、对有限交（或有限并）和余集运算封闭的 \Omega 的子集类，这两者是等价的。
性质
无论从哪个定义出发，利用德摩根定律和集合交与并运算的分配律，都可列出代数具有如下性质：空集和全集是它的元素、对有限并和有限交封闭、对补集运算封闭、对差集运算封闭。
一个代数也一定是一个环。用可列不交并封闭一个代数，将得到一个σ-代数，而后者是数学严格化测度论与概率论非常重要的一种集类。
其中用可列不交并封闭一个代数 \mathcal{F} 得到的新集类定义是：
:\mathcal{F}_{\sum\! f}:=
\left\{ A | A = \sum_{i=1}^n A_{i},A_{i}\in \mathcal{F},i\neq j \Rightarrow A_{i}\cap A_{j} = \emptyset,i,j = 1,2,\cdots \right\}
其他定义
- \,\mathcal{F}\, 是 \Omega 的幂集布尔代数的子代数。在明确上下文时，亦称 F 为集合域。
- \Omega 的元素称为点，而 \,\mathcal{F}\, 的元素称为复形。
集合域在布尔代数的表示理论中扮演中心角色。所有布尔代数都可以被表示为集合域。
参见
- 内部代数
*
- Stone布尔代数表示定理
*
- 布尔环
参考
- Goldblatt, R., Algebraic Polymodal Logic: A Survey, Logic Journal of the IGPL, Volume 8, Issue 4, p. 393-450, July 2000
- Goldblatt, R., Varieties of complex algebras, Annals of Pure and Applied Logic, 44, p. 173-242, 1989
*
- Naturman, C.A., Interior Algebras and Topology, Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics, 1991
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