集P，以整除關係為偏序，所成的哈斯圖。紅色子集S = \{1, 2, 3, 4\}有兩個極大元3、4和一個極小元1。1同時也是最小元。]]
数学分支序理论中，預序集子集S的極大元（）不小於S的任何元素。極小元（）可定義，其不大於S的任何元素。
極大和極小的條件比最大和最小弱。預序集的子集S的最大元需要「大於或等於」S的全體元素（最小元同樣為其對偶），極大元則衹需「不小於」（例如）。若將預序集限縮至偏序集，則至多衹有一個最大元和一個最小元，但極大、極小元皆可有多於一個。但在全序集上，最大等價於極大，最小亦等價於極小。
以集族
:S := \left\{ \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 3, 4\}, \{2, 3, 5\} \right\}
為例，其上的偏序為包含關係。當中\{1, 2\}極小，因為不包含族中任何其他集合，反之\{1, 2, 3, 4\}極大，因為不被其他集合包含。\{1, 2, 3\}則既非極小亦非極大，但\{2, 3, 5\}同時為極小、極大。相比之下，S無最大元和最小元。
定義
設(P, \leq)為预序集，又設S \subseteq P，則S中關於\,\le\,的極大元定義為滿足以下性質的元素m \in S：
:若有s \in S使m \leq s, 則必有s \leq m.
與之類似，S中關於\,\le\,的是滿足以下性質的元素m \in S：
:若有s \in S使s \leq m, 則必有m \leq s.
等價地，亦可將S關於\,\leq\,的極小元定義為S關於\,\geq\,的極大元，其中對任意p, q \in P，q \geq p當且僅當p \leq q。
若無明示子集S，則所謂極大元預設是P的極大元。
若預序集(P, \leq)實為偏序集，或者限縮到(S, \leq)是偏序集，則m \in S為極大當且僅當S無嚴格較m大的元素。換言之，不存在s \in S使m \leq s及m \neq s. 將本段的\,\leq\,號一律換成\,\geq\,就得到極小元的描述。
存在性
極大/極小元不必存在。
*例一：考慮實數系\R的區間S = [1, \infty) \subseteq \R。對任意元素m \in S，s = m + 1仍在S中，但m ，因此沒有元素m為極大。
*例二：考慮有理數系\Q的子集S = \{ s \in \Q ~:~ 1 \leq s^2 \le 2 \}，因為根號2是無理數，對任何有理數m \le \sqrt 2皆可找到另一有理數s使m 。
但在某些情況下，極大/極小元保證存在。
- 若S為有限非空子集，則必有極大元和極小元。（對無窮子集無此結論，如整數系\Z \subseteq \R就沒有極大元。）
- 佐恩引理斷言：「若偏序集P中，每個全序子集S皆有上界，則P至少有一個極大元。」此引理等價於良序定理和选择公理，在數學的多個分支有重要推論，例如可證任何向量空間皆有基（極大的代數無關子集），或是任何域皆有代數閉包（代數擴張偏序下的極大元）。
唯一性
極大/極小元不必唯一。
各領域例子
- 帕累托效率中，「帕累托最優」的狀態即是帕累托改善偏序下的極大元，此類極大元的集合又稱為「帕累托前緣」（）。
- 决策论中，是偏序下的極大元。
- 现代投资组合理论中，風險（以低為優）與回報（以高為優）的下，極大元稱為效率投資組合（），組成的集合則為。
- 集合论中，某集合為有限當且僅當其任意非空子集族（以包含關係為偏序）皆有極小元。{{註|若有元素a_0, a_1, \ldots，則集族\left\{\{a_0, a_1, a_2, \ldots \}, \{a_1, a_2, \ldots\}, \{a_2, \ldots \}, \ldots \right\}無極小元。}}
- 抽象代数中，需要將最大公因數的概念推廣為，因為某些數系中，若干個元素的公因子集合可能有多於一個極大元（整除意義下）。
- 计算几何中，是逐分量比較下的極大元。
註
參考文獻
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