集P，按整除偏序x | y畫成哈斯圖。紅色子集S = \{ 1, 2, 3, 4 \}有兩個極大元3、4，和一個極小元1，同時也是最小元。但是，S沒有最大元。]]
数学分支序理论中，最大元是某集合中，大於或等於其全體元素的特殊元素。最小元與之，小於等於該集合的任何元素。例如，實數集\{-3, 1, 2.5, \pi\}中，最大元是\pi，而最小元是-3，但是區間(0, 1) = \{x: 0 並無最大元或最小元。
此處「大小」關係除一般實數的大小關係外，也可以是定義在任意集合上的偏序或預序。
嚴格定義
設(P, \le)為偏序集（或預序集亦可），S為其子集。若S的元素g滿足：
:對S的任意元素s，皆有 s\le g，
則g稱為S的最大元（）。對偶地，若S的元素l滿足：
:對S的任意元素s，皆有 l \le s，
則l稱為S的最小元（）。
由定義，S的最大（小）元必定是S的上（下）界。且若P為偏序集，則集合S至多得一個最大元：若g_1和g_2皆為最大，則由定義有g_1 \leq g_2，又有g_2 \leq g_1，由反對稱性得g_1 = g_2。所以若有最大元，則必定唯一。若改為預序集則不一定。
整個偏序集P的最大最小元又稱為頂（）和底（）。頂常以符號記作1或\top，底則是0或\bot，在有补格和布爾代數等結構中尤為常見。有頂和底的偏序集稱為有界偏序集合。
與極大極小元、上下界之別
集合不一定有最大元，也不一定有上界。即使集合有上界和上確界，也不一定有最大元。舉例，實數系\mathbb R中，任何正數皆是負數子集\mathbb R^-的上界，且0為其上確界，但是沒有最大元：不存在「最大的負數」。最小元與下界、下確界的關係也類似。最大元又與極大元（）不同：有極大元的集合不一定有最大元，但偏序集若有最大元，則同時亦是唯一的極大元。最小元與極小元（）亦不同。
性質
設(P, \leq)為偏序集，S為其子集。
- 有限全序集的非空子集必有最大最小元。
- S若有最大元g，則g必定是極大元。此時，S衹有這一個極大元：對任意極大元M，由於g是最大元，必有M \le g，從而由M極大知M= g。所以若S有多於一個極大元，則不能有最大元。
- 若P滿足升链条件，則其子集S有最大元当且仅当其恰有一個極大元。
**「僅當」：最大元必然是極大元。
**「當」：假設S有唯一極大元m但沒有最大元。因為m不是最大，有s_1 \in S與m不可比，又s_1 不是極大，所以有某個s_2 \in S滿足s_1 。s_2與m也不可比：若m ，則與m極大矛盾；反之s_2 \leq m又推出s_1 ，與s_1、m不可比又矛盾。重複以上步驟，可得無窮遞升鏈s_1 （其中每個s_i皆與m不可比，又非極大），與升鏈條件矛盾。
全序集的最大最小元
假如\,\leq\,限制到子集S上為全序（如首段附圖的S = \{ 1, 2, 4 \}），則在S中，最大元與極大元等價：若m \in S為極大，則對任意其他s \in S，必有s \le m（ m 將與m極大矛盾），故m是最大元。
所以，全序集中，最大元與極大元兩個概念重合，有時也稱為最大值（），同理最小元與極小元也稱為最小值（）。但上述用法與實值函數論的用法略有出入。研究實值函數時，所謂最大值是函數的值域的最大元，又稱全域最大值、絕對最大值、最大值。而限制到某點鄰域時，對應值域的最大元（等同於極大元）則稱為局域最大值、相對最大值、極大值。最大最小值又合稱最值，極值亦同。
集合S的最大最小值分別記作\max S, \min S。在格理論或概率论中，為方便運算，會將兩數a, b之最大最小值（即其組成二元集的最大最小元）簡記作併a \vee b和交a \wedge b。換言之：
: a \vee b = \max\{a, b\}, \quad a \wedge b = \min\{a, b\}.
例
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- 實數集\mathbb R中，全體整數組成的子集\mathbb Z沒有上界，從而沒有最大元。
- 如圖所示，在集合\{a, b, c, d\}上，定義自反關係\,\leq\,使a \leq c, a \leq d, b \leq c, b \leq d.。則c, d皆是集合\{a, b\}的上界，但因為不可比較，沒有最小上界。又a, b不可比，\{a, b\}沒有最大元。
- 有理數集\mathbb Q中，平方小於2的數所組成的子集\{q \in \mathbb Q: q^2 有上界（如100），但沒有最大元，也沒有上確界。
- \mathbb{R}中，區間[0, 1)有上確界1而沒有最大元。但區間[0, 1]有最大元1，同時也是上確界。
- \mathbb{R}^2配備時，滿足0 （而y任意）的二元組(x, y)的集合A沒有上界，也沒有最大元。
- 但當\mathbb{R}^2配備字典序時，A有上界(1, 0)，但仍沒有上確界和最大元。
參見
- 本质上确界和本质下确界
- 始对象和终对象
- 極大與極小元
- 上极限和下极限
- 上界和下界
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註
參考文獻
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