共尾

共尾子集是一個預序集A的某些子集B，使得對於任意A的元素a，都存在B的元素b，滿足a \preccurlyeq b。相對地，若B為A的共首子集，則對於任意A的元素a，都存在B的元素b，滿足b \preccurlyeq a。

定義
給定預序集(A, \preccurlyeq)（通常簡稱預序集A），稱集合B是(A, \preccurlyeq)的共尾子集，若且唯若B \subseteq A，且

(\forall a \in A)(\exists b \in B)(a \preccurlyeq b).

同時也稱集合B共尾於(A, \preccurlyeq)。

以下為共尾概念在不同數學對象上的延伸定義：

• 共尾函數：給定集合X，稱f:X \to A是一個(A, \preccurlyeq)的共尾函數，等價於其值域\{f(x):x \in X\}共尾於(A, \preccurlyeq)，即

(\forall a \in A)(\exists x \in X)[a \preccurlyeq f(x)].

• 共尾序列：稱(a_i)_{i \in I}（其中a_i \in A）為一個(A, \preccurlyeq)的共尾序列，等價於\{a_i:i \in I\}共尾於(A, \preccurlyeq)，即

(\forall a \in A)(\exists i \in I)(a \preccurlyeq a_i).

:也等價於g:I \to A（滿足g(i) = a_i）是一個(A, \preccurlyeq)的共尾函數。

• 共尾網：稱(x_\alpha)_{\alpha \in \Lambda}（其中x_\alpha \in A）為一個(A, \preccurlyeq)的共尾網，等價於\{x_\alpha:\alpha \in \Lambda\}共尾於(A,\preccurlyeq)，即

(\forall a \in A)(\exists \alpha \in \Lambda)(a \preccurlyeq x_\alpha).

:也等價於h:\Lambda \to A（滿足h(\alpha) = x_\alpha）是一個(A, \preccurlyeq)的共尾函數。

性質
給定集合A、B和C，
#A共尾於預序集(A, \preccurlyeq)。
#若B共尾於偏序集(A, \preccurlyeq)，且C共尾於(B, \preccurlyeq_B)，則C共尾於(A, \preccurlyeq)。
#若B共尾於具最大元素的偏序集(A, \preccurlyeq)，則B含有(A, \preccurlyeq)的最大元素。
#若B共尾於具極大元素的偏序集(A, \preccurlyeq)，則B含有所有(A, \preccurlyeq)的極大元素。
#若偏序集(A, \preccurlyeq)不具有最大或極大元素，則存在分離的共尾子集。
#若偏序集(A, \preccurlyeq)包含全序的共尾子集，則存在良序的共尾子集。

關於共尾子集的基數（勢），請參見共尾性。

示例
給定群E，並取A為E中所有有限指數正規子群所組成的集合。此時偏序集(A, \supseteq)的共尾子集可用於定義該群上的群拓撲、柯西序列與完備空間。

另見

• 餘有限

參考
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