域扩张

域扩张（）是数学分支抽象代数之域论中的主要研究对象，基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为。

定义
设和是两个域。如果存在从到的域同态，则称(,)是的一个域扩张，记作或⊆、⊂。称为域扩张的基域，称为的扩域。如果某个域既是的扩域，又是的子域，则称域扩张是域扩张的子扩张，称（域扩张的）中间域。

域扩张的记法只是形式上的标记，不表示存在任何商环或商群等代数结构。有些文献中也会将域扩张记为:。

另外，因为是域同态，所以是单射。由于是域，所以()是一个的同构于的子域。很多时候也直接省略，直接将视为的一个子域。为了记叙方便，下文中将依情况使用这种省略方式。

设有域扩张，给定一个由中不属于()的元素组成的集合，考虑中所有同时包含()和的子域，其中有一个“最小的”，称为“在中添加（集合）生成的扩域”，记作()。它是所有同时包含()和的域的子域。如果集合只有一个元素，则称域扩张()为单扩张，对应的扩域一般简记作()。称为这个域扩张的本原元。

每个域扩张中，扩域可以看作是以基域为系数域的向量空间。设有域扩张，将中元素看作向量，中元素看作系数，可以定义中的域加法运算作为向量的加法运算，同时可以定义中元素作为系数与中元素的数乘运算。可以验证，在这样定义下，是一个向量空间。它的维数称为域扩张的次数或度数，一般记作[:]。次数为1的扩张，扩域和基域同构，称为平凡扩张。次数有限的域扩张称为有限扩张，否则称为无限扩张。

例子
复数域\mathbb C是实数域\mathbb R的扩域，而\mathbb R则是有理数域\mathbb Q的扩域。这样，显然\mathbb{C} \big/ \mathbb R也是一个域扩张。实数到复数的域扩张次数：[\mathbb C : \mathbb{R}] = 2。因为\mathbb C可以看作是以\{1, i\}为基的实向量空间。故扩张\mathbb{C} \big/ \mathbb R是有限扩张。\mathbb{C} = \mathbb R (i)，所以这个扩张是单扩张。

集合\mathbb Q (\sqrt{2}) = \{ a+ b\sqrt{2} ; \; a, b, \in \mathbb{Q} \}是在\mathbb Q中添加\sqrt{2}生成的扩域，显然也是一个单扩张。它的次数是2，因为\{ 1, \sqrt{2}\}可作为一个基。\mathbb Q的有限扩张也称为代数数域，在代数数论有重要地位。

有理数的另一个扩张域是关于一个素数的进数域\mathbb{Q}_p。它与\mathbb R类似，是有理数域完备化得到的数域。但由于使用的拓扑不同，所以与\mathbb R有着截然不同的性质。

对任何的素数和正整数，都存在一个元素个数为的有限域，记作。它是有限域（即\mathbb{Z} \big/ p\mathbb{Z}）的扩域。

给定域和以中元素为系数的不可约多项式，为上的多项式环[]的元素。生成的理想是极大理想，因此[]是域，而且是的扩域。其中不定元是多项式的根。

给定域，考虑所有以中元素为系数的有理函数，即可以表示为两个以中元素为系数的多项式、之比：的函数。它们构成一个域，记作()，是多项式环[]的分式域。它是域的扩域，次数为无限大。

基本性质
设有域扩张，则扩域与有相同的加法和乘法单位元。加法群 (, +) 是 (,+) 的一个子群，乘法群 (×, ·) 是 (×, ·) 的一个子群。因此，与有相同的特征。

设有域扩张及某个中间域，则域扩张和的次数乘积等于的次数：
::[L : K] = [L:F] \cdot [F:K].

代数元与超越元
给定域扩张，如果中一个元素是某个以中元素为系数的（非零）多项式（以下简称为多项式）的根，则称是上的一个代数元，否则称其为超越元。如果中每个元素都是上的代数元，就称域扩张为代数扩张，否则称其为超越扩张。例如\sqrt{2}和i都是\mathbb Q上的代数元，而与都是\mathbb Q上的超越元。\mathbb Q上的代数元和超越元分别叫做代数数与超越数。

每个有限扩张都是代数扩张，反之则不然。超越扩张必然是无限扩张。给定域扩张，如果中元素要么属于，要么是上的超越元，则称是的纯超越扩张。一个单扩张如果由添加代数元生成则是有限扩张，如果由添加超越元生成则是纯超越扩张。

极小多项式
给定域扩张，如果中一个元素是上的代数元，那么在所有使得 0的首一多项式中，存在一个次数最小的，称为在上的极小多项式，记为。设为次多项式，则中间域等于所有以为不定元的多项式的集合。更具体地说，等于所有以为不定元的、次数严格小于的多项式的集合：。这说明中任何元素都可以写成b = \lambda_1 + \lambda_2 a + \cdots + \lambda_n a^{n-1}的形式。其中(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)是个中元素。由于是极小多项式，所以可推出：\{1, a, \cdots , a^{n-1} \}是中间域作为向量空间的基。扩张的次数是.

可分裂域与代数闭包
分裂域是将某个多项式的根全部添加到其系数域中生成的域扩张，将多项式转化为域扩张进行研究。给定域扩张，称一个多项式在中可分裂，如果可以写成：
::f = \kappa (X - \alpha_1)(X - \alpha_2)\cdots (X - \alpha_k), \; \kappa \in K, \; \alpha_1, \alpha_2 ,\cdots , \alpha_k \in L
的形式，即的每个根都是中的元素。如果在中可分裂，但不在的任何一个包含的真子域中可分裂（也就是说是令在其中可分裂的“最小”的域扩张），就称是在上的可分裂域。

给定域，如果所有多项式在都可分裂，则称为代数闭域。给定代数扩张，如果是代数闭域，则称其为的代数闭包，一般记作。给定，则它所有的代数闭包都是同构的。

域扩张的自同构群
除了将扩域看作基域上的向量空间外，另一个研究域扩张的角度是考察域扩张的自同构群。给定域扩张，上的一个自同构被称为自同构，当且仅当限制在上的部分是平凡的（即为恒等映射）：
::\forall x \in K, \; \sigma(x) = x.
所有的自同构组成一个群，称为域扩张的自同构群，记作()。这些自同构描绘了“以外”的元素可以怎样相互变换而保持域的域结构不变。

正规、可分与伽罗瓦扩张
伽罗瓦扩张是伽罗瓦理论中的基础概念。有限的伽罗瓦扩张满足伽罗瓦理论基本定理，在此扩张的伽罗瓦群的子群与其中间域之间建立了一一对应的关系，从而给出了中间域的清晰描述。

一般定义伽罗瓦扩张是正规且可分的域扩张。一个域扩张称为正规扩张，如果对任何一个以中元素为系数的不可约多项式，只要它有一个根在中，则它的所有根都在中，也就是说可以分解为上一次因式的乘积。正规扩张也叫做准伽罗瓦扩张，它与伽罗瓦扩张的差别是伽罗瓦扩张还是可分扩张。一个代数扩张称为可分扩张，如果中每个元素在上的极小多项式是可分的，即（在的一个代数闭包中）没有重根。从以上正规扩张和可分扩张的定义中可以推出：一个域扩张是伽罗瓦扩张，当且仅当它是某个以中元素为系数的可分多项式的分裂域。

伽罗瓦扩张的自同构群称为其伽罗瓦群，记作()。它的阶数（群中元素个数）等于伽罗瓦扩张的次数：[:]。伽罗瓦理论基本定理说明，当伽罗瓦扩张是有限扩张的时候，给定()的任一个子群，唯一存在一个中间域⊂⊂与之对应，这个域恰好是中对所有的中的自同构固定的元素的集合：
::L^H = \{ x ; \; \forall \sigma \in H, \; \sigma(x) = x\}
这种对应关系被称作伽罗瓦对应。给定()的子群，被称为的对应域。伽罗瓦对应建立了特定条件下域扩张与群论之间转化的纽带，通过研究特定群的结构，可以给出域扩张的仔细刻画。

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