劉維爾函數 (微積分)
在微积分学领域，刘维尔函数（）是一类函数，包括所有初等函数以及它们的任意次积分，也可以递归地定义为： 初等函数是刘维尔函数 如果一个函数是刘维尔函数，那么它的积分也是 所以，刘维尔函数对于算术运算，复合，微分，积分封闭，但是对求极限和无穷求和不封闭。 刘维尔函数是由约瑟夫·刘维尔在1833年至1841年的一系列論文中所提出的。 示例 所有的初等函数 误差函数 菲涅耳積分，对数积分，指数积分 所有刘维尔函数都是代数微分方程的解，但反之则不…
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共 10 篇文章
初等函数
初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数的全体对算术运算、复合和微分（求导）是封闭的，但对求极限、无穷级数以及积分不封闭。只有刘维尔函数（初等函数及其积分）的全体对积分才是封闭的。 此外，部…
刘维尔定理 (微分代数)
刘维尔定理（）揭示了具有初等原函数的初等函数的本质特征。其最早由约瑟夫·刘维尔于十九世纪三四十年代提出，经后人推广到一般的微分域上，并被进一步推广运用在常微分方程组初等首次积分的研究上。 初等函数的原函数并不总是初等函数，例如 e^{-x^2} 的原函数是误差函数，无法用初等函数表达出来。 其它常见的例子还有 \sin(x)/x ， x^x ， 1/\ln(x) 等。 刘维尔定理指出，一个初等函数如果有初等的原函数，那么一定能写成同一个…
微分代数
微分代数（）是代数学的一个分支，在代数中装备一个导子就可以得到微分代数。此外，在数学中，微分环、微分域和微分代数是环、域、代数装备一个导子，一个满足莱布尼兹乘积法则的一元函数。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C(t)，其导子是关于 t 的微分。 微分环 一个微分环 R 是装备一个或多个导子的环 :\partial:R \to R 使得每个导子满足莱布尼兹乘积法则： :\partial(r_1 r_2)=(\partial…
微分伽罗瓦理论
数学中，微分伽罗瓦理论是研究微分方程伽罗瓦群的理论。 概述 代数伽罗瓦理论研究代数域的扩张， 而微分伽罗瓦理论则研究微分域的扩张，即具备导子D的域。这两种构造的一个区别是，微分伽罗瓦理论中的伽罗瓦群往往是矩阵李群，而代数伽罗瓦理论中常常是有限群。 另见 皮卡–韦西奥理论 参考文献 Juan J. Morales Ruiz : Differential Galois Theory and Non-Integrability of Hami…
里施算法
里施算法（），是一个由罗伯特·亨利·里施而得名的計算不定積分（反導函數）的算法。里施算法可以將積分的問題轉換為代數的問題。里施算法以要積分函數的形式為基礎，而且配合有理函數、方根、指數及對數函數的積分方式。 里施在1968年提出此算法，將此算法視為決定性程序，因為此算法可以判定一个函数的不定積分是否为初等函數；若答案是肯定的，算法还可以找出此不定積分。 在及史蒂芬·R·查波爾（Stephen R. Czapor）、喬治·拉班（Georg…
符号积分
微积分学中，符号积分指找到给定函数f(x)的积分，即找到可微函数F(x)使 :\frac{dF}{dx} = f(x). 也可以表示为 :F(x) = \int f(x) \, dx. 讨论 “符号”问题异于数值问题，后者求给定输入时的F，而非求F的一般公式。 早在数字计算机出现之前，人们就认为这两个问题都具有重要意义，但现在则一般认为属于计算机科学范畴，因为计算机目前最常用于求解个别特例。 求表达式的微分很简单，很容易构建算法；求积分…
二元数
在線性代數，二元數（）是實數的延伸。二元數有一「二元數單位」ε，其平方ε2＝0（亦即ε是冪零元）。二元數的集合能在實數之上組成、符合交換律的二維環結合代數。全部二元數z都有z=a+bε的特性，其中a和b是實數。 矩陣表示法 二元數可用矩陣表示為： :\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}及a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b …
导子
导子（）在抽象代数中是指代数上的一个函数，推广了导数算子的某些特征。明确地，给定一个环或域 k 上一个代数 A，一个 k-导子是一个 k-线性映射 D: A → A，满足莱布尼兹法则： : D(ab) = (Da)b + a(Db)\ . 更一般地，从 A 映到 A-模 M 的一个 k-线性映射 D，满足莱布尼兹法则也称为一个导子。A 所有到自身的 k-导子集合记为 Derk(A)。从 A 到 A-模 M 的所有 k-导子集合记为 De…
微分熵
微分熵是消息理論中的一個概念，是從以離散隨機變數所計算出的夏農熵推廣，以連續型隨機變數計算所得之熵，微分熵與離散隨機變數所計算出之夏農熵，皆可代表描述一信息所需碼長的下界，然而，微分熵與夏農熵仍存在著某些相異的性質。 定義 令X為一連續型隨機變數，其機率密度函數為f_X(x)，其中X的支撐集為S=\{x\in X|f_X(x)>0}\。微分熵h_X(x): h_X(x)=-\int_{S} f_X(x)log(f_X(x))dx。 與夏…