劉維爾函數 (微積分)
在微积分学领域，刘维尔函数（）是一类函数，包括所有初等函数以及它们的任意次积分，也可以递归地定义为： 初等函数是刘维尔函数 如果一个函数是刘维尔函数，那么它的积分也是 所以，刘维尔函数对于算术运算，复合，微分，积分封闭，但是对求极限和无穷求和不封闭。 刘维尔函数是由约瑟夫·刘维尔在1833年至1841年的一系列論文中所提出的。 示例 所有的初等函数 误差函数 菲涅耳積分，对数积分，指数积分 所有刘维尔函数都是代数微分方程的解，但反之则不…
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自動微分
在數學和計算機代數中，自動微分有時稱作演算式微分，是一種可以藉由電腦程式計算一個函數導數的方法。兩種傳統做微分的方法為： 對一個函數的表示式做符號上的微分，並且計算其在某一點上的值。 使用差分。 使用符號微分最主要的缺點是速度慢及將電腦程式轉換成表示式的困難。此外，很多函數在要計算更高階微分時會變得複雜。 使用差分的兩個重要的缺點是捨棄誤差及數值化過程和相消誤差。此兩者傳統方法在計算更高階微分時，都有複雜度及誤差增加的問題。自動微分則解…
初等函数
初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数的全体对算术运算、复合和微分（求导）是封闭的，但对求极限、无穷级数以及积分不封闭。只有刘维尔函数（初等函数及其积分）的全体对积分才是封闭的。 此外，部…
計算機代數
对代数函数f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^4+10x^2-96x-71}}进行符号积分]] 数学和计算机科学中，计算机代数或符号计算或代数计算，是研究、开发用于操作表达式等数学对象的算法与软件的科学领域。这通常被视为是运算科学的一个子领域，但运算科学一般基于近似浮点数的数值计算，而符号计算则使用含变量的表达式进行精确计算，其中变量没有赋值。 执行符号计算的软件系统称为计算机代数系统，“系统”暗示了软件的复杂性，其中至少包括一…
里施算法
里施算法（），是一个由罗伯特·亨利·里施而得名的計算不定積分（反導函數）的算法。里施算法可以將積分的問題轉換為代數的問題。里施算法以要積分函數的形式為基礎，而且配合有理函數、方根、指數及對數函數的積分方式。 里施在1968年提出此算法，將此算法視為決定性程序，因為此算法可以判定一个函数的不定積分是否为初等函數；若答案是肯定的，算法还可以找出此不定積分。 在及史蒂芬·R·查波爾（Stephen R. Czapor）、喬治·拉班（Georg…
符号积分
微积分学中，符号积分指找到给定函数f(x)的积分，即找到可微函数F(x)使 :\frac{dF}{dx} = f(x). 也可以表示为 :F(x) = \int f(x) \, dx. 讨论 “符号”问题异于数值问题，后者求给定输入时的F，而非求F的一般公式。 早在数字计算机出现之前，人们就认为这两个问题都具有重要意义，但现在则一般认为属于计算机科学范畴，因为计算机目前最常用于求解个别特例。 求表达式的微分很简单，很容易构建算法；求积分…
無平方多項式
数学裡的無平方多項式（）是指在域或是整环上的單變數多項式，在包括其係數的代數閉域內，沒有重根。在特征為0的域，或是有限域中，單變數多項式是無平方因式，若且唯若其無法被任何的平方所。在物理學和工程上，會將無平方多項式稱為沒有重根的多項式。 根據乘积法则，若除以可以整除，則的除以也可以整除。反之亦然，因此f是無平方多項式若且唯若1是多項式和其導數的最大公因式。 多項式的無平方分解（square-free decomposition）或無平方…
最大公因式
兩個多項式的最大公因式（，简稱GCD）是指此多項式是兩多項式的因式，且不存在其他次數更高的公因式。最大公因式的概念類似兩整數的最大公因數。 針對係數在域裡的單變數多項式，可以像計算最大公因數一樣，用多项式除法的輾轉相除法計算最大公因式。可以得到的最大公因數，頂多會再乘以一個係數。 整數最大公因數和多項式最大公因式之間的類似之處，可以將所有用带余除法和輾轉相除法可以推得的性質擴展到單變數多項式。而且，最大公因式有其特殊的性質，因此在代數的…
施图姆定理
施图姆定理是一个用于决定多项式的不同实根的个数的方法。这个方法是以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆命名的。 施图姆定理与代数基本定理的一个区别是，代数基本定理是关于多项式的实根或复根的个数，把重根也计算在内，而施图姆定理则只涉及实根，且不把重根计算在内。 标准施图姆序列 我们首先从以下不含重根的多项式构造一个施图姆序列： : X=a_n x^n+\ldots +a_1 x+a_0. 标准施图姆序列是把多项式长除法应用于X和它的导数X_1= …