茶年 · 中文维基百科

初等函数

Wikipedia · 2026-07-09 维基百科 👁 3 阅读

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。

一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。

初等函数的全体对算术运算、复合和微分（求导）是封闭的，但对求极限、无穷级数以及积分不封闭。只有刘维尔函数（初等函数及其积分）的全体对积分才是封闭的。

此外，部分初等函数不是整函数，或者在复数域上是多值函数。

名称来源
之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”（法语：fonction élémentaire），需要从微分代数的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔引入的，但目前的通行定义是由约瑟夫·里特给出的：

一个微分域F，定义为某一个域F_0再加上一个函数对函数的映射u\rarr f(u)。其中，f(u)满足以下条件：

f(u+v)=f(u)+f(v)f(uv)=uf(v)+vf(u)且该域内的任意常数C都满足f(C)=0。

在以上定义满足时，一个函数u被称为F上的初等函数，当且仅当该函数至少满足以下三者之一：

  • 是F上的代数函数；
  • 是F上的指数性函数，意即f(u)=uf(a),a\in F；
  • 是F上的对数性函数，意即f(u)=\frac{f(a)}{a},a\in F。

常函数
称f(x)=C为常数函数，其中C为常数，它的定义域为(-\infty,\infty)。

幂函数
称形如f(x) = Cx^r的函数为幂函数，其中C, r为常数。幂函数的定义域与r的值有关，但是不管r取何值，该函数在(0,+\infty)上总有意义。

指数函数
称形如f(x) = a^x的函数为指数函数，其中a是常数，a>0且a\ne 1。该函数的定义域为(-\infty,+\infty)，值域为(0,+\infty)

对数函数
称形如y=\log_a x\!的函数为对数函数，其中a>0且a\ne1，是指数函数y=a^x的反函数。该函数定义域为(0,+\infty)，值域为(-\infty,+\infty)

|e, 绿色函数底数是2，而藍色函数底数是1/2。在数轴上每个刻度是半个单位。所有底数的对数函数都通过点(1,0)，因为任何数的0次幂都是1，而底数 β 的函数通过点(β ,1)，因为任何数的1次幂都是自身1。曲线接近 y 轴但永不触及它，因为x=0的奇异性。]]

三角函数
正弦函数
称形如f(x)=\sin x的函数为正弦函数，它的定义域为(-\infty,+\infty)，值域为[-1,1]，最小正周期为2\pi。

余弦函数
称形如f(x)=\cos x的函数为余弦函数，它的定义域为(-\infty,+\infty)，值域为[-1,1]，最小正周期为2\pi。

正切函数
称形如f(x)=\tan x的函数为正切函数，它的定义域为\{x|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},\,k\in \mathbb{Z}\}，值域为(-\infty,+\infty)，最小正周期为\pi。

余切函数
称形如f(x)=\cot x的函数为余切函数，它的定义域为\{x|x\neq k\pi,\,k\in \mathbb{Z}\}，值域为(-\infty,+\infty)，最小正周期为\pi。

[[File:Cotan proportional.svg|300px|余切函数]图像]]
正割函数
称形如f(x)=\sec x的函数为正割函数，它的定义域为\{x|x\neq k\pi+\frac {\pi}{2},\,k\in \mathbb{Z}\}，值域为(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)，最小正周期为2\pi。

余割函数
称形如f(x)=\csc x的函数为余割函数，它的定义域为\{x|x\neq k\pi,\,k\in \mathbb{Z}\}，值域为(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)，最小正周期为2\pi。

反三角函数
其它常见初等函数
双曲函数
双曲正弦函数：y=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

双曲余弦函数：y=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

双曲正切函数：y=\tanh x=\frac {\sinh x}{\cosh x}= \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
反双曲函数
反双曲正弦函数：y=\operatorname{arsinh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})

反双曲余弦函数：y=\operatorname{arcosh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})

扩展阅读

外部链接

*

#微分代数 #计算机代数 #各种类函数

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。