施图姆定理是一个用于决定多项式的不同实根的个数的方法。这个方法是以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆命名的。
施图姆定理与代数基本定理的一个区别是，代数基本定理是关于多项式的实根或复根的个数，把重根也计算在内，而施图姆定理则只涉及实根，且不把重根计算在内。
标准施图姆序列
我们首先从以下不含重根的多项式构造一个施图姆序列：
: X=a_n x^n+\ldots +a_1 x+a_0.
标准施图姆序列是把多项式长除法应用于X和它的导数X_1= X'时，所得到的中间结果的序列。
标准施图姆序列由以下公式计算：
: \begin{matrix}
X_2&=&-{\rm rem}(X,X_1)\\
X_3&=&-{\rm rem}(X_1,X_2)\\
&\vdots&\\
0&=&-{\rm rem}(X_{r-1},X_r),
\end{matrix}
也就是说，序列中每一项都是前两项相除所得的余数，并将其变号。由于当1 \le i 时，\operatorname{deg} X_{i + 1} \le \operatorname{deg} X_i - 1，因此这个序列最终要停止。最后一个多项式，X_r，就是X和它的导数的最大公因式。由于X没有重根，因此X_r是一个常数。于是，标准施图姆序列为：
:X,X_1,X_2,\ldots,X_r . \,
表述
设V_{\xi }为以下序列中符号变化的次数（零不计算在内）：
:X(\xi), X_1(\xi), X_2(\xi),\ldots, X_r(\xi), \,\!
其中X是不含重根的多项式。于是，施图姆定理说明，对于两个实数a , b，开区间(a , b)中的不同根的个数为V_a-V_b。
应用
通过恰当选择a , b，这个定理可以用来计算多项式的实根的总个数。例如，柯西发现的一个定理说明，系数为a_i的多项式的所有实根都在区间[-M , M]内，其中：
:M = 1 + \frac{\max_{i=0}^{n-1} |a_i|} . \,\!
除此以外，我们还可以利用下列事实：对于很大的正数x，以下多项式的符号
:P(x)=a_n x^n+\cdots \,\!
是\sgn(a_n)，而\sgn(P(-x))则是\sgn((-1)^n a_n)。
用这种方法，仅仅计算施图姆序列中首项系数的符号变化，就可以得出多项式的不同实根的个数。
通过施图姆定理的帮助，我们还可以决定某个给定根（例如\xi）是几重根。确实，假设我们知道\xi在(a , b)内，且V_a-V_b = 1。那么，\xi是m重根正好当\xi是X_r的m-1重根时（这是因为它是X和它的导数的最大公因式）。
一般的施图姆序列
[a , b] 上的施图姆序列，是实系数多项式 X 的一个有限序列 X_0,X_1,\ldots ,X_r ，使得：
X_r 在 [a , b] 上没有根
X_0(a)X_0(b)\neq 0
#如果对于 \xi \in [a , b] , 1 \le i \le r-1 , X_{i}( \xi ) = 0 ，那么X_{i-1}( \xi )X_{i+1}( \xi )
#若对于 \xi \in [a , b] ,X( \xi ) = 0 ,则存在\delta > 0,使得 c\in(\xi - \delta , \xi )时，X_0(c)X_1(c) 而 c\in(\xi , \xi + \delta ) 时 X_0(c)X_1(c)>0
我们可以验证每一个标准施图姆序列确实是如上定义的施图姆序列。
相關條目
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參考資料
- D.G. Hook and P.R. McAree, "Using Sturm Sequences To Bracket Real Roots of Polynomial Equations" in Graphic Gems I (A. Glassner ed.), Academic Press, p. 416-422, 1990.
外部链接
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