三元數
三元數（）是一類基於實數域的三維代數系統。由於三維實除法代數在數學上無法良好建構，因此數學界並未建立統一且廣泛接受的定義，在傳統代數意義下往往被認為不存在；其主要原因在於乘法運算無法滿足群的性質，亦不符合可除代數的要求。儘管如此，仍有文獻透過各種修正模式試圖定義三元數。 在數學史中，三元數常與四元數一同被提及，因為後者正是在數學家嘗試建構三維數系的過程中意外誕生的。 歷史 19世紀初，複數已被成功解釋為平面上的點。愛爾蘭數學家威廉·哈密…
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共 11 篇文章
十六元數
{{Infobox number system | official_name = 十六元數 | symbol = \mathbb S | type = 非结合代數 | units = e_0、 e_1、 e_2、 e_3、 e_4、 e_5、 e_6、 e_7、 e_8、 e_9、 e_{10}、 e_{11}、 e_{12}、 e_{13}、 e_{14} 及e_{15} | identity = e_0 | properties …
四元數
四元數（）是由爱尔兰數學家威廉·盧雲·哈密頓在1843年创立出的數學概念。通常记为H，或\mathbb{H}。 從明確地角度而言，四元數是複數的不可交換延伸。如把四元數的集合考慮成多維實數空間的話，四元數則代表著一個四维空间，相對於複數為二维空间。 作为用于描述现实空间的坐标表示方式，人们在复数的基础上创造了四元数并以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置。 i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算，并有以下运算规则：i0=j0=…
泡利矩陣
在數學和數學物理中，包立矩陣是一組三個2×2的么正厄米複矩陣，一般都以希臘字母σ來表示，但有時當他們在和同位旋的對稱性做連結時，會被寫成τ。他們在包立表像（σz表像）可以寫成： :\begin{align} \sigma_1 = \sigma_x &= \begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} \\ \sigma_2 = \sigma_y &= \begin{bmatrix} 0&-i\\ i&0 …
超复数
超複數是複數在抽象代數中的引申，通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論的根基。 此種代數舉例如下： 4維度：四元數、雙複數、分裂四元數 8維度：八元數、複四元數 16維度：十六元數 歷史 19世紀，實數系和複數系之外的若干數系，如四元數系、雙複數系、分裂四元數系、複四元數系、八元數系，成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念，吸引學者研究和分類。 分類工作始於本傑明·皮爾士的1…
格拉斯曼數
在數學物理學中，格拉斯曼數（又稱反交換數）是一種用於狄拉克場路徑積分表示的數學架構。格拉斯曼數是以德國學者赫爾曼·格拉斯曼命名的。 性質 各格拉斯曼變數\theta_i均與代數的實數元無關，它們之間互成反交換關係，但與一般數x間則為交換關係： : \theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i\qquad\theta_i x = x \theta_i。 需要注意的是，此算符的平方為零： : 由於\theta…
胡尔维兹定理
在代数学中，胡尔维兹定理（又名“1,2,4,8定理”）是以在1898年证明它的阿道夫·胡尔维兹命名。该定理表明：任何带有单位元的賦範可除代數同构于以下四个代数之一：R,C,H和O，分别代表实数、复数、四元数和八元数。对实賦範可除代數的分类始于弗洛比纽斯 ，发扬于胡尔维兹，由佐恩整理为一般形式。一个简短的历史摘要可见Badger。 完整的证明能在凯特和索洛多斯尼科夫或者夏皮罗处找到。一个基本的想法是，如果一个代数A是成正比于1的，那么它同…
三十二元數
{{Infobox number system | official_name = 三十二元數 | symbol = \mathbb T。較常見的定義是透過將十六元數套用凱萊-迪克森構造生成的32維代數系統。這種代數系統不是可除代數，且不具備交換律和結合律。 性質 以凱萊-迪克森構造生成的三十二元數本身包含了十六元數、八元數、四元數、複數和實數，也就是說實數包含於複數、複數包含於四元數、四元數包含於八元數、八元數包含於十六元數、十六元數…
二元数
在線性代數，二元數（）是實數的延伸。二元數有一「二元數單位」ε，其平方ε2＝0（亦即ε是冪零元）。二元數的集合能在實數之上組成、符合交換律的二維環結合代數。全部二元數z都有z=a+bε的特性，其中a和b是實數。 矩陣表示法 二元數可用矩陣表示為： :\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}及a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b …
八元数
八元数（）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元数非结合推广的超複數，通常记为O或\mathbb{O}。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交错代数的特性，並保有冪結合性。 也许是因为八元数的乘法不具備结合性，因此它们作為超複數而言受關注的程度較四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和中也有应用。 歷史 八元數第一…
雙複數
雙複數是擁有以下形式的超複數： :t = w + x i + y j + z k, \quad w, x, y, z \in R 而 i j = j i = k, \quad i^2 = -1, \quad j^2 = +1 . 線性表示法 在雙複數 t = w + xi + yj + zk, \ 中，請注意由於ij=k，所以t = (w + xi) + (y + zi) j \ 。 這映射 :t \mapsto \begin{pmat…