格拉斯曼數

在數學物理學中，格拉斯曼數（又稱反交換數）是一種用於狄拉克場路徑積分表示的數學架構。格拉斯曼數是以德國學者赫爾曼·格拉斯曼命名的。

性質
各格拉斯曼變數\theta_i均與代數的實數元無關，它們之間互成反交換關係，但與一般數x間則為交換關係：

: \theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i\qquad\theta_i x = x \theta_i。

需要注意的是，此算符的平方為零：

: 由於\theta_i \theta_i = -\theta_i \theta_i，所以(\theta_i)^2 = 0\,。

為了能讓費米子也有路徑積分，格拉斯曼數的積分需要有以下特性：

• 線性

: \int\,[a f(\theta) + b g(\theta) ]\, d\theta = a \int\,f(\theta)\, d\theta + b \int\,g(\theta)\, d\theta

• 分部積分公式

: \int \left[\frac{\partial}{\partial\theta}f(\theta)\right]\, d\theta = 0。

因此格拉斯曼量的積分有以下的規定：
: \int\, 1\, d\theta = 0
: \int\, \theta\, d\theta = 1。

所以結論為任何格拉斯曼數的微分及積分都是相同的。

在量子場論的路徑積分表述中，在描述費米子反交換場時，需要用到以下含格拉斯曼量的高斯積分：

: \int \exp\left[\theta^TA\eta\right] \,d\theta\,d\eta = \det A。

其中A為n\times n矩陣。

由格拉斯曼數集合所生成的代數叫格拉斯曼代數。由n個線性獨立的格拉斯曼數生成的代數，其維度為2^n。

格拉斯曼代數是超交換代數的原型。超交換代數還可以分成偶變量與奇變量，因此可以滿足分層的交換律（特別是奇變量為反交換）。

外代數
格拉斯曼代數是生成元所張成的向量空間的外代數。外代數的定義與基底的選擇無關。

矩陣表示
格拉斯曼數都能以矩陣形式表示。例如，已知一格拉斯曼代數，是由兩個格拉斯曼數\theta_1及\theta_2所生成。這些格拉斯曼數可用4×4矩陣表示：

:\theta_1 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_2 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
\end{bmatrix}\qquad \theta_1\theta_2 = -\theta_2\theta_1 = \begin{bmatrix}
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
\end{bmatrix}
。

一般來說，由n個生成元生成的格拉斯曼代數，可用2^n \times 2^n的正方形矩陣表示。在物理上，這些矩陣可被視為升算符，作用對象為佔位數基底中n個費米子的希爾伯特空間。由於每個費米子的佔位數皆為0或1，因此共有2^n種基底態。在數學上，這些矩陣可被視為線性算符，對應與格拉斯曼代數自身的左外乘法。

應用
在量子場論中，格拉斯曼數為反交換算符的“經典類比”。它們用於定義費米子場的路徑積分，因此需要為格拉斯曼數的積分下定義，這種積分又叫別列津積分。

格拉斯曼數在為超流形（或超空間）下定義時有重要用途，此時它們被用作“反交換座標”。

另見

• 格拉斯曼流形
• 格拉斯曼定律 (音韻學)
• 格拉斯曼定律 (色彩)
• 外代數

參考資料
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