八元数（）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元数非结合推广的超複數，通常记为O或\mathbb{O}。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交错代数的特性，並保有冪結合性。
也许是因为八元数的乘法不具備结合性，因此它们作為超複數而言受關注的程度較四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和中也有应用。
歷史
八元數第一次被描述於1843年，於一封給威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。後來八元數由阿瑟·凯莱在1845年獨自發表。格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凯莱發表的時間稍晚一些。阿瑟·凯莱發表的八元數和约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凯莱是獨自發現八元數的，
定义
八元数可以视为实数的八元组。八元数有多種構造方式。以凯莱-迪克森结构為例，八元数可以表達為2個四元數與的組合，即或p_0 + p_1i + p_2j + p_3k + \left(q_0 + q_1i + q_2j + q_3k\right)l\,，其中，量為其中一個八元数單位並滿足：
: i^2 = j^2 = k^2 = l^2 = -1 \,
在這種定義下每一个八元数都是单位八元数的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成
{{乘法表
|table class = class="wikitable" style="text-align: center; margin:0.5em auto;"
|calculate = {} * {}
|calculate title = \times
|first number list = 1,i,j,k,l,il,jl,kl
|second number list = 1,i,j,k,l,il,jl,kl
|class=Module:Complex_Number/Octonion.omath
|number css = css
|use math=yes
}}
一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為的線性組合，其中：：
:x = x_0e_0 + x_1e_1 + x_2e_2 + x_3e_3 + x_4e_4 + x_5e_5 + x_6e_6 + x_7e_7,\,
除了主對角線上以及e_0作為操作數的行和列的元素之外，乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。
該表可總結如下：
:
e_i e_j =
\begin{cases}
e_j , & \text{if }i = 0 \\
e_i , & \text{if }j = 0 \\
- \delta_{ij}e_0 + \varepsilon _{ijk} e_k, & \text{otherwise}
\end{cases}
其中為克罗内克δ函数（當且僅當時為1）、 為，且當時，值為1。
然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是e_0=1八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素\{e_0, e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7\},的符號來獲得。這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。
這480個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在7循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個7循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 的7循環（1234567）下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法诺平面，該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表和ijkl格式的矩陣。
:
此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為1, i, j, k, L, m, n, o。
凯莱-迪克松构造
一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数(a,b)和(c,d)的乘积定义为：这些直线是有向的。七个点对应于{{math|Im(\mathbb{O})}}的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。{{#tag:ref|Baez, John C. The Octonions.
这样，实数域上唯一的赋範可除代数是\mathbb{R}、\mathbb{C}、\mathbb{H}和\mathbb{O}。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的。Chapter 8.6}}这个群是中最小的一个。
参见
*双曲复数
*四元数
*十六元数
*
*──法诺平面的自同构群。
註釋
参考文献
延伸閱讀
- . Online HTML version at
- . （）
评论 (0)