超複數是複數在抽象代數中的引申，通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論的根基。
此種代數舉例如下：
*4維度：四元數、雙複數、分裂四元數
*8維度：八元數、複四元數
*16維度：十六元數
歷史
19世紀，實數系和複數系之外的若干數系，如四元數系、雙複數系、分裂四元數系、複四元數系、八元數系，成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念，吸引學者研究和分類。
分類工作始於本傑明·皮爾士的1872年文章〈線性結合代數〉，並由其子查爾斯·桑德斯·皮爾士接續。重要的是，二人認定冪零元和冪等元皆對分類有用。凱萊－迪克森構造利用對合，從實數系開始，生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲和弗羅貝尼烏斯證明超複數的若干限制：赫維茲定理斷言有限維的實僅得實數系\mathbb{R}、複數系\mathbb{C}、四元數系\mathbb{H}、八元數系\mathbb{O}，而斷言，實僅得\mathbb{R}、\mathbb{C}、\mathbb{H}。1958年，考慮H-空間（有具單位元的連續乘法的拓撲空間）的霍普夫不變量，發表推廣的結果，該結果仍將維數限制在1、2、4、8。
矩陣代數對研究超複數系幫助很大。首先，矩陣提供新的超複數系，例如2 \times 2實矩陣組成的代數（同構於分裂四元數）。很快，矩陣方法解明其他超複數系，因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示。1907年，約瑟夫·韋德伯恩證明，滿足結合律的超複數系可表示為方陣代數或其直積。此後，結合代數成為較常用來稱呼超複數系的術語，例如韋德伯恩在愛丁堡大學的學位論文標題便用了此術語。然而，也有不可結合的數系，例如八元數系和雙曲四元數系，也算是另一類的超複數。
湯馬士·霍金斯（Thomas Hawkins）解釋，超複數是研究李群和群表示論的踏腳石。例如，1929年，埃米·諾特發表〈超複量與表示論〉。1973年，和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版關於超複數的德文教科書，該書於1989年翻譯成英文。
詳細介紹全盛期的超複數研究，包括數學家和的貢獻。關於超複數至近世代數的過渡，在《代數史》有三十頁專論超複數。
定義
定義超複數為實域上某個有限維代數的元素，而該代數要有單位，但無需可結合或可交換。 該些元素可以寫成一組基\{ 1, i_1, \dots, i_n \}的線性組合，其中系數為實數(a_0, \dots, a_n)，而基的大小n+1稱為該代數的維數。若可行，一般將基正規化，即選取i_k使i_k^2 \in \{ -1, 0, +1 \}。下節先考慮二維超複數（即n=1）。
二維實代數
關於二維實代數有以下定理：在同構意義下，實域上的二維單位代數恰有3個：複數系、雙曲複數系、二元數系。於是，實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。
下段簡述定理的證明。
因為給定的代數是二維，可選一組基\{1, u\}。因為代數對乘法封閉，u的平方仍是代數的元素，故可寫成線性組合：
:u^2=a_0+a_1u,
其中a_0, a_1為實系數。
運用常見的配方法，兩邊減走a_1u並加上a_1^2/4，得：
:u^2-a_1u+\frac{a_1^2}{4} = a_0+\frac{a_1^2}{4}.
所以\left(u-\frac{a_1}{2}\right)^2 = \tilde{u}^2，其中\tilde{u}^2=a_0 + \frac{a_1^2}{4}是實數。
取決於此實數值，分別有三種情況：
#若4a_0 = -a_1^2，則上式變成\tilde{u}^2 = 0。於是，\tilde{u}可視為二元數的基\{1, \varepsilon\}中的冪零元\varepsilon。
#若4a_0 > -a_1^2，則有\tilde{u}^2 > 0。雙曲複數的標準基\{ 1 , j \}滿足j^2 = +1，故若除\tilde{u}以正實數a:=\sqrt{a_0+\frac{a_1^2}{4}}（其平方與\tilde{u}平方相等），得到的結果即可視為j。
#若4a_0 ，則有\tilde{u}^2 。平常複數的標準基\{ 1 , i \}滿足i^2 = -1，故若除\tilde{u}以正實數a:=\sqrt{\frac{a_1^2}{4}-a_0}（其平方與\tilde{u}平方互為相反數），得到的結果即可視為i。
從而定理成立。
複數系是以上三個二維實代數中唯一一個域。若代數具有1的非實平方根j（如雙曲複數），則也有冪等元\tfrac{1}{2} (1 \pm j)和零因子（因為(1 + j)(1 - j) = 0），故此種代數必不為。然而，此種性質有時很有用，例如雙曲複數適用於描述狹義相對論的勞侖茲變換。
《數學雜誌》在2004年的某版中，稱二維實代數為「廣義複數」（generalized complex numbers）。四個複數交比的概念也可以推廣到其他二維實代數。
高維例子（有多於一條非實軸）
克里福代數
克里福代數是由賦有二次型的向量空間所生成的單位結合代數。在實域上，其等價於可以定義對稱純量積u \cdot v = \tfrac{1}{2}(uv + vu)，正交化該二次型，以得到基\{e_1, \ldots, e_k\}，滿足：
::\tfrac{1}{2} (e_i e_j + e_j e_i) = \left\{ \begin{matrix} -1, 0, +1, & i=j, \\
0, & i \not = j. \end{matrix} \right.
由乘法封閉性，該向量空間的基相乘得到2^k個，即1,\ e_1,\ e_2,\ e_3,\ \ldots,\ e_1 e_2,\ \ldots,\ e_1 e_2 e_3,\ \ldots,\ e_1 e_2 \cdots e_k，皆為克里福代數的元素，且組成該代數的基（不同於原向量空間的基），可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基\{e_1, \ldots, e_k\}不同，該代數的其他基元素不一定反交換，而是取決於將兩個因子對調時，會交換的簡單因子（即e_i）有奇數對抑或偶數對。所以，e_1 e_2 = -e_2 e_1，但e_1 (e_2 e_3) = + (e_2 e_3) e_1。
若不允許e_i^2 = 0（即二次型），則餘下的克里福代數可記為\mathrm{Cl}_{p,q} (\mathbb R)，表示其為p個滿足e_i^2 = +1的簡單基元和q個滿足e_i^2 = -1的簡單基元生成的代數，而括號內的\mathbb R指明此為實域上的克里福代數，即元素的系數為實數。
該些代數稱為幾何代數，組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動、相位、自旋，因此在古典和量子力學、電磁學、相對論方面很有用。
此族代數包括：複數系\mathrm{Cl}_{0,1} (\mathbb R)、雙曲複數系\mathrm{Cl}_{1,0} (\mathbb R)，四元數系\mathrm{Cl}_{0,2} (\mathbb R)、\mathrm{Cl}_{0,3} (\mathbb R)、分裂四元數系\mathrm{Cl}_{1,1} (\mathbb R)\cong\mathrm{Cl}_{2,0} (\mathbb R)（二維空間生成的自然代數）、\mathrm{Cl}_{3,0} (\mathbb R)（三維空間生成的自然代數，也是包立矩陣生成的代數）、時空代數\mathrm{Cl}_{1,3} (\mathbb R)。
代數\mathrm{Cl}_{p, q}(\mathbb R)可以視為代數\mathrm{Cl}_{q+1, p}(\mathbb R)的偶子代數\mathrm{Cl}_{q+1, p}^{[0]}(\mathbb R)，從而可用作描述\mathrm{Cl}_{q+1, p}(\mathbb R)中的旋轉。因此，複數密切關係二維空間的旋轉，四元數密切關係三維空間的旋轉，雙曲複數密切關係1+1維時空的雙曲旋轉（洛侖茲變換），餘可類推。
雖然八維或以上時，凱萊-迪克森結構和分裂複數構造的乘法不可結合，任意維數的克里福代數皆可結合。
1995年，有關克里福代數的書中，論及「子代數的辨認」。其命題11.4總結超複數的情況：
:設A為實結合代數，且具有單位元1。則
:* 1生成\mathbb R（實子代數），
:* 若e_0 \in A是任何滿足e_0^2 = -1的元素，則其生成的二維子代數與 \mathbb C同構（複子代數），
:* 若e_0 \in A是任何滿足e_0^2 = +1的元素，則其生成的二維子代數與 \mathbb R^2同構（此處 \mathbb R^2是實二元組的集合，其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數同構），
:* 若e_0 ^2 = e_1 ^2 = -1，且e_0, e_1反交換，則\{e_0, e_1\}生成的四維子代數同構於\mathbb H（四元數代數），
:* 若e_0 ^2 = e_1 ^2 = 1，且e_0, e_1反交換，則\{e_0, e_1\}生成的四維子代數同構於\mathcal M_2 (\mathbb R)（元素為2 \times 2實矩陣，或分裂四元數），
:* 若e_0 ^2 = e_1 ^2 = e_2 ^2 = -1，且e_0, e_1, e_2兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於\ {}^2 \mathbb H（），
:* 若e_0 ^2 = e_1 ^2 = e_2 ^2 = 1，且e_0, e_1, e_2兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於\mathcal M_2(\mathbb C)（元素為2 \times 2複矩陣，亦可視為複四元數或包立代數）。
超出該些古典代數的延伸，見。
凱萊－迪克森構造
撇除實數系、複數系、四元數系不計，其他克里福代數\mathrm {Cl}_{p, q}(\mathbb R)皆含有平方為+1的非實數，故不能為除代數。凱萊－迪克森構造是另一個擴展複數系的方法，其給出維數為2^n\ (n = 2,\ 3,\ 4,\ldots)的數系，該些數系的基\{1, i_1, \dots, i_{2^n-1}\}滿足：所有非實的基元兩兩反交換，且i_m^2 = -1。在8維或以上時（即 n \ge 3 ），該些代數不可結合，而在16維或以上時（即n \ge 4），該些代數有零因子。
此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系、8維的八元數系、16維的十六元數系。隨維數上升，其代數結構的對稱性逐一失去：四元數乘法不可交換，八元數乘法不可結合，而十六元數的範數不具積性。
凱萊－迪克森構造的某些步驟中，若插入額外的符號，則得到中的「分裂代數」，而非除代數：
: 分裂複數系：有基\{ 1, i_1 \}，滿足\ i_1^2 = +1，
: 分裂四元數系：有基\{ 1, i_1, i_2, i_3 \}，滿足\ i_1^2 = -1, i_2^2 = i_3^2 = +1，
: ：有基\{ 1, i_1, \dots, i_7 \}，滿足\ i_1^2 = i_2^2 = i_3^2 = -1，\ i_4^2 = i_5^2 = i_6^2 = i_7^2 = +1。
與複數系不同，分裂複數系並非代數閉，甚至包含非平凡的零因子和冪等元。與四元數系類似，分裂四元數系亦不可交換，但同時還含有冪零元。分裂四元數與二階方陣的代數同構。分裂八元數系不可結合，也含有冪零元。
張量積
兩個代數的張量積仍為代數，如此可構造更多超複數系。
作為例子，取2維實代數 \mathbb C （複數系）、4維實代數\mathbb H（四元數系）、8維實代數\mathbb O（八元數系），分別與\mathbb C作張量積，依次得4維的雙複數系\mathbb C\otimes_\mathbb{R}\mathbb C、8維的複四元數系\mathbb C\otimes_\mathbb{R}\mathbb H、16維的複八元數系\mathbb C\otimes_\mathbb{R}\mathbb O。
其他例子
- 多重複數：其組成複域上的2^{n-1}維向量空間。
- ：賦有二次型的代數，其中二次型與乘法可互換次序。
參見
*十六元數
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*理查德·布饒爾
*
注
參考資料
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