三元數

三元數（）是一類基於實數域的三維代數系統。由於三維實除法代數在數學上無法良好建構，因此數學界並未建立統一且廣泛接受的定義，在傳統代數意義下往往被認為不存在；其主要原因在於乘法運算無法滿足群的性質，亦不符合可除代數的要求。儘管如此，仍有文獻透過各種修正模式試圖定義三元數。

在數學史中，三元數常與四元數一同被提及，因為後者正是在數學家嘗試建構三維數系的過程中意外誕生的。

歷史
19世紀初，複數已被成功解釋為平面上的點。愛爾蘭數學家威廉·哈密頓希望能將此概念推廣至三維空間，尋找一種能對三維點進行加、減、乘、除運算的代數系統（即「三元數」）。

然而，哈密頓進行了多年嘗試，始終無法解決三元數在乘法與除法上的代數與幾何困難。1843年，他意識到無法在保留良好代數性質的前提下建構三維除法代數，進而放棄三維系統，最終導向了四元數的發現。

概述
複數是由兩個基底元素1與i組成的代數系統，其中i定義為i^2 = -1，複數集合定義為\mathbb{C} = \{a + bi : a, b \in \mathbb{R}\}。在此定義下，複數的乘法具備封閉性，即任意兩複數之乘積仍為複數。

複數可用於表示二維平面上的點。若嘗試將此概念推廣至三維空間，引入另一個與i相異且滿足j^2 = -1的基底元素j，並定義三元數集合為T = \{a + bi + cj : a, b, c \in \mathbb{R}\}，會發現在此基礎上進行乘法時，產生的ij與ji項，若不對其進行額外規定，則無法直接表示為a + bi + cj的形式，導致乘法在集合T內不具備封閉性。

上述非封閉性的反證法證明如下：
{{Math proof
| title = 反證法證明：ij \notin T
| 1 =
假設ij \in T，即存在實數a, b, c \in \mathbb{R}使得ij = a + bi + cj。兩邊左乘i可得：

\begin{aligned}
i(ij) &= i(a + bi + cj) = ia + ibi + icj \\
i^2 j &= ai + b i^2 + c(ij) \\
-j &= ai - b + c(a + bi + cj) \\
-j &= (ac - b) + (a + bc)i + c^2 j
\end{aligned}

比較兩端j的係數，可得c^2 = -1，與c \in \mathbb{R}的前提產生矛盾，故假設不成立。因此ij \notin T。同理可證ji \notin T。
}}

針對此非封閉性問題，後世研究者提出了多種修正方案。例如：直接規定ij = 0；或重新調整乘法規則以構造封閉的代數結構。部分研究者將基底元素的積定義為基底的線性組合，從而確保乘積仍留在三元數集合內，例如：

設任意三元數S可表示為a + bi + c\phi，其中a, b, c \in \mathbb{R}。若基底滿足i^2 = -1、\phi^2 = -i，且i\phi = \phi i = i + \phi，則S與S' = a' + b'i + c'\phi之乘積為：

S \times S' = (aa' - bb') + (ab' + a'b + bc' + b'c - cc')i + (ac' + a'c + bc' + b'c)\phi.

然而，在該代數結構下，乘法運算僅滿足交換律與對加法的分配律，而不滿足結合律。例如計算i \cdot i \cdot \phi時：

\begin{aligned}
(ii)\phi &= i^2 \phi = -\phi, \\
i(i\phi) &= i(i + \phi) = i^2 + i\phi = -1 + i + \phi.
\end{aligned}

可以見得(ii)\phi \neq i(i\phi)，故結合律不成立。

參見
*四元數

參考文獻