正规扩张是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。體的正規擴張為它的一個代數擴張，使得中每一個在中有根的不可約多項式，其所有根也都包含在中；換句話說，我們要求中元素的共軛元也都在中。

定义
正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个：

是多项式环中的某一族多项式的分裂域。

设是一个包含了的的代数闭包。对于L在上的每一个嵌入，只要它限制在上的部分是平凡的（即为恒等映射：()），那么就有。换句话说，在上的每一个嵌入都是一个上的自同构。

任意一个上的不可约多项式，只要它在中有一个根，那么就可以在分解成一次因式的乘积（或者说全部的根都在中）。

例子
\mathbb{Q}(\sqrt{2})是\mathbb{Q}的一个正规扩张，因为它是\mathbb{Q}上的多项式x^2 - 2的分裂域。然而，\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})并不是\mathbb{Q}的一个正规扩张，因为\mathbb{Q}上的不可约多项式x^3 - 2有一个根：\sqrt[3]{2}在\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})里面，但它的另外两个根：\sqrt[3]{2} \left(\frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \right)和\sqrt[3]{2} \left( \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \right)都是複數，不在\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})里面。只有在加入了三次单位根：\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} 后的扩域\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)才是一个正规扩张。

也可以用正规扩张的第二个定义来证明\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})不是\mathbb{Q}的正规扩张。设域\mathbb{A}是由所有复代数数生成的扩域，则\mathbb{A}是\mathbb{Q}的一个代数闭包，并且\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})在\mathbb{A}里面。另一方面，
:\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\in\mathbb{A}\,|\,a,b,c\in\mathbb{Q}\}
并且，如果记\zeta =\sqrt[3]{2} \left( \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \right)是x^3 - 2的复根之一，那么映射：
:\begin{array}{lccc}\sigma: & \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) &\longrightarrow &\mathbb{A}\\ & a+ b\sqrt[3]{2}+c \sqrt[3]{4} & \mapsto & a + b\zeta + c\zeta^2 \end{array}
是\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})在\mathbb{A}上的一个嵌入，并且它限制在\mathbb{Q}上的部分是平凡的（将\mathbb{Q}中元素映射到自己）。但是并不是\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})上的自同构。

更一般地，对每一个素数，域扩张\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}, \zeta_p)都是\mathbb{Q}的一个正规扩张，扩张的次数是(1)。\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}, \zeta_p)是\mathbb{Q}上的多项式x^p - 2的分裂域。其中的\zeta_p是任意一个复数次单位根。

性质
设有域扩张，那么：

• 如果是的正规扩张，并且是一个子扩张（也就是说有扩张⊂⊂）那么也是的正规扩张。
• 如果的子域和都是的正规扩张，那么两者的复合扩张（指的子域中同时包含和的最小者）以及两者的交∩也都是的正规扩张。

正规闭包
设有域扩张，那么总存在域扩张，使得是正规扩张。在同构意义上，“最小”的这样的扩张是唯一。即是说，其他的域扩张如果使得是正规扩张，那么总存在的子扩张，使得同构于。这个唯一的“最小”正规扩张称为域扩张的正规闭包。

如果是有限扩张，那么它的正规闭包也是有限扩张（因此也是有限扩张）。

参见

• 伽罗瓦扩张

参考来源
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