交換子

在抽象代数中，一个群的交換子（commutator）或换位子是一个二元運算子。设g及h 是群G中的元素，他們的交換子是g −1 h −1 gh，常記為[ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。

一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。

群論
群中两个元素和的交换子为元素
:

它等于群的幺元当且仅当和可交换（即）。

環論
环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为：
: [a, b] = ab - ba.

量子力學
量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即

:[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}；

其中；\hat{A}、\hat{B}均为量子力学的算符，[\hat{A}, \hat{B}]是其对易算符，也称交换子。

如果上式等于零，则称\hat{A}、\hat{B}是对易的，即意味着\hat{A}和\hat{B}两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。

量子力學中，交換子有以下特性:

:[\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]
:[\hat{A},\hat{B}+\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]+[\hat{A},\hat{C}],\quad[\hat{A}+\hat{B},\hat{C}]=[\hat{A},\hat{C}]+[\hat{B},\hat{C}]
:[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}],\quad[\hat{A}\hat{B},\hat{C}]=[\hat{A},\hat{C}]\hat{B}+\hat{A}[\hat{B},\hat{C}]
:[\hat{A},\hat{A}^n]=0,\quad n=1,2,3...
:[k\hat{A},\hat{B}]=[\hat{A},k\hat{B}]=k[\hat{A},\hat{B}]
:[\hat{A}, [\hat{B}, \hat{C}]]+[\hat{C}, [\hat{A}, \hat{B}]]+[\hat{B}, [\hat{C}, \hat{A}]] = 0

量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：

以下，\hat{x}是位置算符、\hat{p}是动量算符、\hat{L}是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而\delta_{ij}是克罗内克δ、\epsilon_{ijk}是列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

正則對易關係
物理學中，正則對易關係是正則共軛的量之間的關係，這樣的量從定義可以發現：一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說：
:[x,p] = i\hbar

上面的x與p分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量，而[x,p]=xp-px為所謂x與p的交換算符，i是虛數單位，\hbar為約化普朗克常數，等於h/2\pi。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩，並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。

與古典力學的關係
相對於量子力學，古典物理中所有可觀測量都可對易（交換），而交換算符會是零；然而仍然有類似的關係存在：需將交換子換成泊松括號，且常數i\hbar換成1：
:\{x,p\} = 1 \,\!

這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設：一般來說，古典的觀測量f,g其量子對應項\hat f,\hat g應滿足
:[\hat f,\hat g]= i\hbar\widehat{\{f,g\}} \,。

於1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制，稱作魏爾量子化（Weyl quantization），為了一種稱作形變量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了數學途徑。

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