极化恒等式

极化恒等式（英语：Polarization identity）是一个用范数来计算两个向量的内积的公式。

公式
:设x,y是複Hilbert空间中的向量，则内积可表示为：

:
:\left\langle x,y \right\rangle =\frac{1}{4}\left( {{\left\| x+y \right\|}^{2}}-{{\left\| x-y \right\|}^{2}}+i{{\left\| x+iy \right\|}^{2}}-i{{\left\| x-iy \right\|}^{2}} \right)。

:
:若x,y是实Hilbert空间中的向量，则内积可表示为：

:\left\langle x,y \right\rangle =\frac{1}{4}\left( {{\left\| x+y \right\|}^{2}}-{{\left\| x-y \right\|}^{2}} \right)。
:

推导
:设有两个实Hilbert空间中的向量x,y，有
:(x+y)^2=x^2+y^2+2x \cdot y
:(x-y)^2=x^2+y^2-2x \cdot y
:两式相减，得
:4x \cdot y=(x+y)^2-(x-y)^2
:所以
:x \cdot y=\frac{1}{4}[(x+y)^2-(x-y) ^2]
:即
\left\langle x,y \right\rangle =\frac{1}{4}\left( {{\left\| x+y \right\|}^{2}}-{{\left\| x-y \right\|}^{2}} \right)

参见
*平行四邊形恆等式

参考文献
:程其襄，张奠宙等.实变函数与泛函分析基础（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.7，241