线性生成空间
在数学分支线性代数之中，向量空间中一个向量集合的线性生成空间（，也称为线性包 ），是所有包含这个集合的线性子空间的交集，从而一个向量集合的线性生成空间也是一个向量空间。 定义 给定域 K 上的向量空间 V，集合 S（不必有限）的生成空间定义为所有包含 S 的线性子空间 V 的交集 W，称 W 为由 S（或 S 中的向量）生成的子空间。 如果 S = \{v_1,...,v_r\}\, 是 V 的有限子集，则生成空间为 :{ \rm sp…
标签：#线性代数
共 57 篇文章
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式（），又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式或柯西不等式，在多個数学领域中均有應用的不等式；例如線性代數的矢量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如赫尔德不等式。 不等式以奧古斯丁-路易·柯西，赫爾曼·施瓦茨，和命名。 叙述 V 是個複内积空间，則對所有的 v,\,w \in V 有： : (a) \|v\|\|w\|\geq |\la…
弗罗贝尼乌斯标准形
线性代数中，元素属于域 F 的正方形矩陣 A 的弗罗贝尼乌斯标准形（） 或有理规范形（）是通过 F 上可逆阵的共轭得到的矩阵规范形。它反映了将向量空间最小分解为对 A 循环的子空间（由某向量与其在 A 下的重复像张成的子空间）。由于给定矩阵只能给出一种标准形，因此 B 与 A 相似，当且仅当它们的弗罗贝尼乌斯标准形相同。由于这种形式不涉及任何扩张 F 域时可能变化的运算（即“有理”），特别是不需要因式分解多项式，这表明两个矩阵的相似关系…
對角矩陣
對角矩陣（）是一类除主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。因此若n阶方块矩阵\mathbf{D} = (di,j)符合以下性質： d_{i,j} = 0 \mbox{ if } i \ne j \qquad \forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n\} 則矩陣\mathbf{D}為對角矩陣。 例子 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 …
一般线性群
在數學中，n 次一般線性群是 n×n 可逆矩陣的集合，和與之一起的普通矩陣乘法運算。這形成了一個群，因為兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣，而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣。叫這個名字是因為可逆矩陣的縱列是線性無關的，因此它們定義的向量／點是在一般線性位置上的，而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點。 为了使定义更明确，必需規定哪類對象可以成為矩陣的元素。例如，在 R（實數集）上的一般線性群是實數的 n×n 可逆…
CSS纠错码
在量子纠错中，CSS纠错码（，以其发明者Robert Calderbank、Peter Shor 和Andrew Steane的名字命名）是一种特殊的稳定子码（stabilizer code），它由具有某些特殊性质的经典纠错码构造而成。CSS码的一个例子是斯蒂恩码（Steane code）。 构造 设 C_1 和 C_2 为两个（经典）线性码，参数分别为 [n, k_1] 和 [n, k_2]，且满足 C_2 \subset C_1。此…
吉洪诺夫正则化
吉洪诺夫正则化得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪诺夫，是在自变量高度相关的情景下估计多元回归模型系数的方法。它已被用于许多领域，包括计量经济学、化学和工程学。总的来说，这种方法提高了参数估计的效率，但也有可容忍的偏差（见偏差-方差权衡）。 该理论于 1970 年由 Hoerl 与 Kennard 发表在《技术计量学》上的文章《岭回归：非正交问题的偏估计》及《岭回归：非正交问题中的应用》中首次提出。 岭回归是通过创建岭回归估计量（RR）实现…
投影 (线性代数)
在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间映射到自身的一种线性变换P，满足P^2=P,也就是说，当P两次作用于某个值，与作用一次得到的结果相同（幂等）。是日常生活中“平行投影”概念的形式化和一般化。同现实中阳光将事物投影到地面上一样，投影变换将整个向量空间映射到它的其中一个子空间，并且在这个子空间中是恒等变换。 定义 投影的严格定义是：一个从向量空间V射到它自身的线性变换 P 是投影，当且仅当P^2 = P。另外一个定义则较为直观：P 是…
谱理论
数学中，谱理论是将单一方阵的特征向量和特征值理论推广到各种空间中算子结构的更广泛理论的统称，是线性代数和线性方程组解及其推广的成果。谱理论与解析函数理论相关，因为算子的谱特性与谱参数的解析函数相关。 数学背景 大卫·希尔伯特在希尔伯特空间理论的最初表述中首先引入了“谱理论”，以无穷多变量的二次型为基础。因此，最初的谱定理被认为是椭球的在无穷维中的形式。后来，量子力学中发现谱理论可解释原子发射光谱特征纯粹是偶然的。希尔伯特自己也对这出乎意…
行列式的莱布尼茨公式
在代数中，为纪念戈特弗里德·莱布尼茨而得名的莱布尼茨公式，用矩阵元素的-{zh-cn:排列;zh-tw:置換}-表示了方块矩阵的行列式。若 A 为 n\times n，以 a_{ij} 表示 A 的第 i -{zh-cn:行;zh-tw:列}-（row）与第 j -{zh-cn:列;zh-tw:行}-（column），则莱布尼茨公式为： \det\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\…
伴随矩阵
在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 \mathbf{A}的伴随矩阵记作\mathrm{adj}(\mathbf{A})，或\mathbf{A}^。 定义 设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）…
三维投影
三维投影是将三维空间中的点映射到二维平面上的方法。由于目前绝大多数图形数据的显示方式仍是二维的，因此三维投影的应用相当广泛，尤其是在计算机图形学，工程学和工程制图中。 分类 三维图形平面投影 平行投影：投影中心与投影平面的距离是无限的，投影线相互平行 *正投影（正交投影）：投影线垂直于投影平面 **多视图投影：物体的坐标面与投影面平行，正视图、侧视图、俯视图 **轴测投影：物体的三个坐标面或坐标轴与投影面均不平行 ***正等轴测投影（正…
穆尔-彭罗斯广义逆
穆尔-彭罗斯广义逆（），通常標記為A^\dagger或A^+，是著名的广义逆矩阵之一。 1903年，埃里克·伊瓦爾·弗雷德霍姆提出积分算子的伪逆的概念。穆尔-彭罗斯广义逆先后被E·H·穆爾（1920年）、（1951年） 、羅傑·潘洛斯（1955年）发现或描述。 它常被用于求得或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解（最小二乘法）。 矩阵的穆尔-彭罗斯广义逆在实数域和复数域上都是唯一的，并且可以通过奇异值分解求得。 定义 定义一 令PS…
广义奇异值分解
线性代数中，广义奇异值分解（GSVD）是基于奇异值（SVD）的两种不同算法的统称。其区别在于，一个是分解两个矩阵（类似于高阶或张量SVD），另一种使用施加于单矩阵SVD奇异向量上的约束。 版本1：双矩阵分解 广义奇异值分解（GSVD）是对矩阵对的矩阵分解，将奇异值分解推广到两个矩阵的情形。它由Van Loan 被广泛用于研究线性系统在二次半范数方面的条件调节与正则化。下面设\mathbb{F} = \mathbb{R}，或\mathbb…
阶梯形矩阵
线性代数中，一個矩阵如果符合下列條件的話，我們稱之為-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-阶梯形矩阵或-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-梯形式矩阵（）： 若某-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-有个非零元素，則必在任何全零-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-之上。 某-{zh-hans:行; zh-hant:列;}-最左边的（即第一個）非零元素稱為首项系数（）。某列的首项系数必定比…
标量 (物理学)
。]] 物理学中，标-{}-量（）又称纯-{}-量、无向量，简言之，是只有大小而无方向的量；其精确定义为：纯量是可用實數表示的一個量，必须有大小（量值）且大多没有方向，此外还必须“不”符合向量的基本数学运算规则，尤其是「平行四边形定则」。 标-{}-量“scalar”，按字面的意思，是以标尺“scale”度量出的量。在数学中，又称为数量。 一般而言，純量就是数量，此稱法是為了区别于向量；但纯量与纯数还是不同，毕竟量不同于数。标量一般指“…
定向 (向量空間)
数学中，实向量空间的一个定向（）是对哪些有序基是“正”定向以及哪些是“负”定向的一个选取。在三维欧几里得空间中，两个可能的基本定向分别称为右手系与左手系。但是定向的选取与基的手征性是独立的（尽管右手基典型地选为正定向，但它们也可规定为负定向）。 定义 设 V 是一个实向量空间，b1 和 b2 是 V 的两个有序基。线性代数中一个标准结论说存在惟一一个线性变换 A : V → V，将 b1 变为 b2。如果 A 的行列式为正，则称基 b1…
舒尔分解
在线性代数中，舒尔分解或舒尔上三角化是一种矩阵分解方法，得名于德国数学家。 定理的陈述 舒尔分解定理表明，如果A是n阶的复方阵，则存在n阶么正矩阵Q，n阶上三角矩阵U，使得： : A = Q U Q^{H} 即任何一个n阶复方阵A酉相似于一个n阶上三角矩阵U。因为A，U相似，所以两者有相同的特征值，且相同特征值的代数重数也相同。又因U是上三角矩阵，所以U的对角元素实际上是A的所有特征值。 该定理表明，存在Cn的一个线性子空间序列{0} …
极化恒等式
极化恒等式（英语：Polarization identity）是一个用范数来计算两个向量的内积的公式。 公式 :设x,y是複Hilbert空间中的向量，则内积可表示为： : :\left\langle x,y \right\rangle =\frac{1}{4}\left( {{\left\| x+y \right\|}^{2}}-{{\left\| x-y \right\|}^{2}}+i{{\left\| x+iy \right\|…
矩阵差分方程
矩阵差分方程是一种差分方程，其中某时刻的变量向量（或矩阵）与之前时刻的值通过矩阵相关。方程的阶是变量向量任意两个指示值之间的最大时差。例如 :\mathbf x_t = \mathbf{Ax}_{t-1} + \mathbf{Bx}_{t-2} 是二阶矩阵差分方程，其中是变量向量，、是矩阵。该方程齐次，因为方程末尾没有常数项向量。同一个方程也可写成 :\mathbf x_{t+2} = \mathbf{Ax}_{t+1} + \math…