在代数中，为纪念戈特弗里德·莱布尼茨而得名的莱布尼茨公式，用矩阵元素的-{zh-cn:排列;zh-tw:置換}-表示了方块矩阵的行列式。若 A 为 n\times n，以 a_{ij} 表示 A 的第 i -{zh-cn:行;zh-tw:列}-（row）与第 j -{zh-cn:列;zh-tw:行}-（column），则莱布尼茨公式为： \det\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}a_{i\sigma\left(i\right)}=\sum_{\tau\in S_n}\sgn\left(\tau\right)\prod_{i=1}^{n}a_{\tau\left(i\right)i} 其中 \sgn 为置换群 S_n 中的置换的符号，当其中为偶置换时给出 +1，而当其中是奇置换时给出 -1。
另一种常见的，物理学家可能更熟悉的记号是依据列维-奇维塔符号并利用爱因斯坦求和约定将公式表示为 \det\left(A\right)=\varepsilon_{i_1,\dots,i_n}a_{1,i_1}\cdots a_{n,i_n}.
因为 n! 是 n 阶置换的数量，直接根据定义计算莱布尼茨公式一般需要 \Omega\left(n!\cdot n\right) 步。换言之，运算次数与 n 的阶乘渐进成比例。即使对较小的 n 来说，此方法也是困难、不明智且不可行的。另一策略是通过高斯消元法或类似方法利用LU分解 A=LU 在 \Omicron\left(n^3\right) 步内计算行列式，此时 \det\left(A\right)=\det\left(L\right)\cdot\det\left(U\right)，并且三角阵 L 和 U 的行列式仅为其对角项之积。（但是在数值线性代数的实际应用中很少需要显式计算行列式）。参见脚注。通过可以简化行列式的计算，使其用少于 \Omicron\left(n^3\right) 步就可以计算，但是这些算法中的大多数是不实用的。
正式陈述和证明
{{Math theorem|name=Theorem
|math_statement=存在唯一的映射 F:M_n\left(\mathbb{K}\right)\mapsto\mathbb{K} 关于-{zh-cn:列;zh-tw:行;}-是交替多线性映射且 F\left(I\right)=1。}}
证明如下：
唯一性
令 F 为定理中所言的映射，A=\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}_{i,j=1,2,\dots,n} 是 n\times n 矩阵。用 A_j 表示 A 的第 j -{zh-cn:列;zh-tw:行}-，换言之 A_j=\left(a_{1j},a_{2j},\dots,a_{nj}\right)^T，因此 A=\left(A_1,A_2,\dots,A_n\right)。
同时，令 e_k 表示 \left(0,\dots,1,\dots,0\right)^T，其中 1 在第 k 位，也就是单位矩阵的第 k 个-{zh-cn:列;zh-tw:行}-向量。
现在用 e_k 表示 A_j 的项：A_j=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}e_k\quad j=1,2,\dots,n.
由于 F 是多线性的，可得 F\left(A\right)=F\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k1}e_{k},\dots,\sum_{k=1}^{n}a_{kn}e_{k}\right)=\sum_{k_1=1}^{n}\cdots\sum_{k_n=1}^{n}F\left(e_{k_1},\dots,e_{k_n}\right)\prod_{i=1}^{n}a_{k_i i}.
由交替性，上式中求和指标相同（即存在 1\le p 使 k_p=k_q）的项皆为零。因此该和的求和指标一定是无重复的元组，即置换：F\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_n}F\left(e_{\sigma\left(1\right)},\dots,e_{\sigma\left(n\right)}\right)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma\left(i\right) i}.
因为 F 是交替的，因此可以通过对换-{zh-cn:列;zh-tw:行;}- e_k 得到单位矩阵。符号 \sgn\left(\sigma\right) 定义为必要的对换的数量和由此产生的符号变化。最终得到：\begin{aligned}
F\left(A\right)=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)F\left(I\right)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma\left(i\right) i}\\
=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma\left(i\right) i}\\
\end{aligned} 因为 F\left(I\right)=1。
因此除了莱布尼茨公式定义的映射，其余映射皆不是F\left(I\right)=1的交替多线性映射。
这一定义方式也称为行列式的公理化定义。
存在性
现在证明由莱布尼茨公式定义的 F 有以下三条性质。
多线性
设 A=\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}_{i,j=1,2,\dots,n}，并设 A_k=\lambda' A'_k+\lambdaA_k，其中撇号指出了辅助矩阵 A'=\left(A_1,\dots,A_{k-1},A'_k,A_{k+1},\dots,A_n\right), A=\left(A_1,\dots,A_{k-1},A_k,A_{k+1},\dots,A_n\right). 根据条件 a_{jk}=\lambda' a'_{jk}+\lambdaa_{jk},\quad j=1,2,\dots,n. F\left(A\right) 关于第 k -{zh-cn:列;zh-tw:行}-的元素的线性可以给出下述论断。由定义 F\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right) a_{\sigma\left(1\right) 1}\cdots a_{\sigma\left(k\right) k}\cdots a_{\sigma\left(n\right) n}=\sum_{\sigma\in S_n}p_{\sigma}a_{\sigma\left(k\right) k}, 其中 p_{\sigma} 不依赖于-{zh-cn:列;zh-tw:行}- A_k 的元素。将求和指标满足 \sigma\left(k\right)=j, \sigma\in S_n 的 p_{\sigma} 合并同类项，并设 \alpha_j=\sum_{\sigma\left(k\right)=j}p_{\sigma}，我们就得到了所需的多线性 \begin{aligned}
F\left(\dots,A_k,\dots\right)=&\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}a_{jk},\\
F\left(\dots,\lambda'A'_k+\lambdaA_k,\dots\right)=&\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\left(\lambda'a'_{jk}+\lambdaa_{jk}\right)\\
=&\lambda'\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}a'_{jk}+\lambda\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}a_{jk}\\
=&\lambda'F\left(\dots,A'_k,\dots\right)+\lambdaF\left(\dots,A_k,\dots\right).\\
\end{aligned} 简言之：F\left(A\right)=\lambda'F\left(A'\right)+\lambdaF\left(A\right).
因此 F 满足多线性。
交替性
设 A' 是由 A 交换-{zh-cn:列;zh-tw:行;}- A_s,A_t 得到的矩阵，也就是说 A'_s=A_t, A'_t=A_s，若 j\ne s,t 则 A'_j=A_j。将任意置换 \pi\in S_n 写成 \pi=\sigma\tau 的形式，其中 \tau=\left(st\right) 是一个对换（参见），我们有\begin{aligned}
F\left(A'\right)=&\sum_{\pi\in S_n}\sgn\left(\pi\right)a'_{\pi\left(1\right) 1}\cdots a'_{\pi\left(n\right) n}\\
=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\tau\right)a'_{\sigma\tau\left(1\right) 1}\cdots a'_{\sigma\tau\left(s\right) s}\cdots a'_{\sigma\tau\left(t\right) t}\cdots a'_{\sigma\tau\left(n\right) n}\\
=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\tau\right)a'_{\sigma\left(1\right) 1}\cdots a'_{\sigma\left(t\right) s}\cdots a'_{\sigma\left(s\right) t}\cdots a'_{\sigma\left(n\right) n}\\
=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\tau\right)a_{\sigma\left(1\right) 1}\cdots a_{\sigma\left(t\right) t}\cdots a_{\sigma\left(s\right) s}\cdots a_{\sigma\left(n\right) n}\\
=&-\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)a_{\sigma\left(1\right) 1}\cdots a_{\sigma\left(t\right) t}\cdots a_{\sigma\left(s\right) s}\cdots a_{\sigma\left(n\right) n}\\
=&-F\left(A\right)\\
\end{aligned}
进一步地，若 A_s,A_t 两-{zh-cn:列;zh-tw:行;}-相同，则将其交换后有 A'=A。于是 F\left(A\right)=F\left(A'\right)=-F\left(A\right)，因此 F\left(A\right)=0。因此 F 满足交替性。
单位矩阵的行列式为一
最后，F(I)=1：\begin{aligned}
F\left(I\right)=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}I_{\sigma\left(i\right) i}\\
=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n} \delta_{i,\sigma\left(i\right)}\\
=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right) \delta_{\sigma,\operatorname{id}_{\left\{1\ldots n\right\}}}\\
=&\sgn\left(\operatorname{id}_{\left\{1\ldots n\right\}}\right)\\
=&1
\end{aligned}
小结
因此唯一满足 F\left(I\right)=1 交替多线性映射刻画了莱布尼茨公式定义的映射，并且该映射实际上也具有这三条性质。因此行列式可以定义为具有这三条性质的唯一映射 M_n\left(\mathbb{K}\right)\mapsto\mathbb{K}。
参见
- 矩阵
- 拉普拉斯展开
- 克莱姆法则
参考文献
外部链接
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