在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。
\mathbf{A}的伴随矩阵记作\mathrm{adj}(\mathbf{A})，或\mathbf{A}^*。
定义
设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：
- 定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。
- 定义：A关于第i行第j列的代数余子式是：
::\mathbf{C}_{ij} =(-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}。
- 定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。
引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：
:\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T ，
也就是说，A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。
简言之，伴随矩阵就是把原来余子矩阵C每一列的代数余子式横着写：
:\left[ \mathrm{adj}(\mathbf{A}) \right]_{ij} = \mathbf{C}_{ji} 。
例子
2x2矩阵
一个2\times 2矩阵\mathbf{A} = \begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix}的伴随矩阵是
:\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} \,\,\, & \!\!\\ & \end{bmatrix}
3x3矩阵
对于3\times 3的矩阵，情况稍微复杂一点：
:
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
其伴随矩阵是：
:\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\
& & \\
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\
& & \\
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
\end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \\
& & \\
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \\
& & \\
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
\end{bmatrix}
其中
:\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|=
\det\left[ \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right]=
\det\left| \begin{matrix} a_{im} & a_{in} \\ \,\,a_{jm} & a_{jn} \end{matrix} \right|
要注意伴随矩阵是餘因子矩陣的转置，因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。
具体情况
对于数值矩阵，
例如求矩阵 A = \begin{bmatrix}
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\
\, 3 & \!-4 & \, 1
\end{bmatrix} 的伴随矩阵\operatorname{adj}(A)，
只需将数值代入上节得到的表达式中。
即：\operatorname{adj}(A)_{ji}=C_{ij}=(-1)^{i+j}(M_{ij})。
其中，M_{ij}為刪掉矩陣 A 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式，C_{ji}為矩陣 A 的餘因子。
例如： \operatorname{adj}(A)中第3行第2列的元素为
:\operatorname{adj}(A)_{32}=C_{23}=(-1)^{2+3}\;\operatorname{det}\begin{bmatrix}\!-3&\,2\\ \,3&\!-4\end{bmatrix}=-((-3)\cdot (-4)-2 \cdot 3)=-6
依照其順序一一計算，便可得到计算后的结果是：
:
\operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}\begin{bmatrix}
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\
\, 3 & \!-4 & \, 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\!-8 & 18 & \, -4 \\
\, -5 & 12 & \, -1 \\
\!4 & \!-6 & \, 2
\end{bmatrix}
应用
作为拉普拉斯公式的推论，关于n×n矩阵A的行列式，有：
:\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf{I}\qquad(*)
其中I是n阶的单位矩阵。事实上，A adj(A)的第i行第i列的系数是
:\sum_{j=1}^{n} a_{i;j} C_{i,j}。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。
如果i ≠ j，那么A adj(A)的第i行第j列的系数是
:\sum_{k=1}^{n} a_{i;k} C_{j,k}。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。
由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。
这是因为如果A可逆，那么
:1 = \det(\mathbf I) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1})，
如果det(A)是环中的可逆元那么公式（*）表明
:\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A})
性质
对n\times n的矩阵A和B，有：
#\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}，
#\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})，
#\mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^T，
#\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}，
#\mathrm{adj}(k \mathbf{A}) = k^{n-1} \ \mathrm{adj}(\mathbf{A})
#当n>=2时， \mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) =(\det \mathbf{A})^{n-2} \mathbf{A}
#如果A可逆，那么\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{-1}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{-1} = \frac{A}{\det A}
#如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。
#如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
#如果矩阵A和B相似，那么\mathrm{adj}(\mathbf{A})和\mathrm{adj}(\mathbf{B})也相似。
#如果n>2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \pm A^T
伴随矩阵的秩
当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1时，其伴随矩阵为零矩阵。
伴随矩阵的特征值
设矩阵A在复域中的特征值为\lambda_1, \lambda_2 \cdots \lambda_n(即为特征多项式的n个根），则A的伴随矩阵的特征值为
: \lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \ \lambda_1 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \cdots , \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1} 。
这里要用到一个结论作为引理：一个n阶矩阵的n个特征值的和等于它的迹数，它们的乘积等于矩阵的行列式。
分3种情况讨论：
如果A的秩为n*，即是说A可逆，那么由引理有： \det A = \lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n。只需证明A的伴随矩阵的特征值为 \frac{ \det A}{\lambda_1} , \frac{ \det A}{\lambda_2}, \cdots , \frac{ \det A}{\lambda_n} 。考察矩阵 X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A}) ：
: \det( X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A}) )
:
\ \ = \det( X \mathbf{I} - \det \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} )
:
\ \ = \det \mathbf{A}^{-1} \cdot \det( X \mathbf{A} - \det \mathbf{A} \cdot \mathbf{I})
\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot X^n \cdot \det(\mathbf{A} - \frac{\det \mathbf{A} }{X} \mathbf{I} )
由于 \det( \mathbf{A} - X \mathbf{I}) = \prod_{i=1}^n(\lambda_i - X)，因此
:\det(\mathbf{A} - \frac{\det \mathbf{A} }{X} \mathbf{I} )
:\ \ = \prod_{i=1}^n(\lambda_i - \frac{\det \mathbf{A} }{X})
:\ \ = \frac{1}{X^n} \prod_{i=1}^n(\lambda_i X - \det \mathbf{A})
因此
: \det( X \mathbf{I} -\mathrm{adj}(\mathbf{A}) )
:\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot X^n \cdot \frac{1}{X^n} \prod_{i=1}^n(\lambda_i X - \det \mathbf{A})
:\ \ = \frac{1}{\det \mathbf{A} } \cdot \lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n \prod_{i=1}^n(X - \frac{ \det A}{\lambda_i})
:\ \ = \prod_{i=1}^n( X - \frac{\det A}{\lambda_i})
可以看到\mathrm{adj}(\mathbf{A})的特征多项式为 \prod_{i=1}^n(X - \frac{ \det A}{\lambda_i}) ，因此命题成立。
如果A的秩严格小于n*-1，即是说A至少有两个特征值为0，于是
: \lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \ \lambda_1 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \cdots , \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1}
全部都是0。这时A的伴随矩阵为0，因此特征值也全是0。命题成立。
如果A的秩等于n-1，即是说A至少有一个特征值为0，不妨设其为 \lambda_1。由于这时A的伴随矩阵秩为1，它至少有n*-1个特征值为0。设剩余的一个为\alpha，则其迹数为\alpha。另一方面，A的伴随矩阵的迹数为
: C_{11} +C_{22} + \cdots + C_{nn}
这个和恰好等于\sum_{i=1}^n \prod_{k \neq i} \lambda_k，即等于\lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}（其余都是0）。
综上所述，对任意的矩阵A，命题都成立。
伴随矩阵和特征多项式
设 p(t)=\mathrm{det}(\mathbf{A}-t\mathbf{I}) 为 \mathbf{A} 的特征多项式，定义q (t) = \frac{p (0)-p (t)}{t}，那么：
: \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1}) ,
其中 p_i 是p(t)的各项系数：
: p (t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}。
伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。
参见
- 逆矩阵
- 可逆元
- 余子矩阵
- 行列式
参考来源
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外部链接
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