雅可比矩阵
在向量分析中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩陣，）是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。 當其為方形矩阵時，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩陣跟雅可比行列式都可稱作Jacobian。 其重要性在於，如果函數 f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m 在點 x 可微的話，在點 x 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅…
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范德蒙矩陣
在线性代数中, 范德蒙德矩阵（Vandermonde matrix）是一个各-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-(row)呈现出几何级数关系的矩阵，得名于亞歷山大‑泰奧菲爾·范德蒙。 \left(m+1\right)\times\left(n+1\right)矩阵 :V = V(x_0, x_1, \cdots, x_m) = \begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n\\ 1 …
密度矩陣
（1）發射出的光子處於完全隨機偏振混合態（2），密度矩陣為\begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \\ \end{bmatrix} 。通過垂直平面偏振器（3）之後，光子處於垂直偏振純態（4），密度矩陣為\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} 。]] 在量子力學裏，密度算符（）與其對應的密度矩陣（）專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態…
伴随矩阵
在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 \mathbf{A}的伴随矩阵记作\mathrm{adj}(\mathbf{A})，或\mathbf{A}^。 定义 设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）…
三角矩阵
在线性代数中，三角矩阵（）是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。 三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三…
矩陣單元
在线性代数中，矩陣單元是一個矩阵，其中只有一個元素為1，其餘元素為0。1位於第i行第j列的矩陣單元以E_{ij}表示。例如，i = 1，j = 2的3 × 3矩陣單元為 E_{12} = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 性質 m \times n矩陣單元的集合是m \times n矩陣空間的基。 : E_{23}A = \left[ \beg…
離散傅里葉變換矩陣
離散傅立葉變換矩陣是將離散傅立葉變換以矩陣乘法來表達的一種表示式。 定義 N點的離散傅立葉變換可以用一個n \times m的矩陣乘法來表示，即X = W x，其中x是原始的輸入信號，X是經過離散傅立葉變換得到的輸出信號。 一個n\times n的變換矩阵W可以定義成W = (\omega^{ij})_{i,j=0,\ldots,N-1} /\sqrt{N} ，或等效如下： : W = \frac{1}{\sqrt{N}} \begin…
邻接矩阵
在图论和計算機科學中，邻接矩阵（）是一種方块矩阵，用來表示有限图。它的每個元素代表各点之间是否有边相连。 作爲特例，簡單圖的鄰接矩陣是(0,1)矩陣並且對角線元素都爲0。無向圖的鄰接矩陣是對稱矩陣。圖和其鄰接矩陣的特徵值和特徵向量之間的關系是譜圖理論的研究對象。 圖的關聯矩陣}-需要和鄰接矩陣區分。它是圖的另一種矩陣表示方式，它的元素表示各個节点-邊對是否相關。還有圖的度數矩陣，含有每個結點的度數信息。 距離矩陣可算是鄰接矩陣的擴充。 …
等价矩阵
在线性代数和矩阵论中，两个矩阵之间的等价是一种矩阵之间的等价关系。假设有两个m \times n 的矩阵，记作A和B。它们之间等价当且仅当存在两个可逆的方块矩阵：n \times n 的矩阵P以及m \times m 的矩阵Q，使得 \mathbf{A} = \mathbf{QBP} 这时称两个矩阵A和B是等价矩阵。矩阵之间的等价和矩阵的相似关系有所不同。如果两个矩阵A和B相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一…
旋转矩阵
旋转矩阵（）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果并保持了手性的矩阵。旋转矩阵不包括点反演，点反演可以改变手性，也就是把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。旋转可分为主动旋转与被动旋转。主动旋转是指将向量逆时针围绕旋转轴所做出的旋转。被动旋转是对坐标轴本身进行的逆时针旋转，它相当于主动旋转的逆操作。 性质 设 \mathbf{M} 是任何维的一般旋转矩阵: \mathbf{M}\in…
正定矩阵
在线性代数裡，正定矩阵（）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。 定义 一个 n\times n 的实对称矩阵 M 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 \mathbf{z}，都有 \mathbf{z}^T M\mathbf{z} >0。其中 \mathbf{z}^T表示 \mathbf{z} …
相似矩陣
在线性代数中，相似矩陣（）是指存在相似关系的矩陣。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩陣当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P，使得： :\! P^{-1} A P = B P被称为矩阵A与B之间的相似变换矩阵。 相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决。 判断两个矩阵是否相似的辅助方法： 1.判断特征值是否相等； 2.判断行列式是否相等； 3.判断跡是否相等…
协方差矩阵
，协方差矩阵为 [ 1.00, 0.50 ; 0.50, 1.00 ]。]] 的样本点。由于 x 和 y 分量共变（即相关），x 与 y 的方差不能完全描述该分布；箭头的方向对应的协方差矩阵的特征向量，其长度为特征值的平方根。]] 在统计学与概率论中，协方差矩阵（covariance matrix）是一个方阵，代表著任兩列间的协方差，是协方差的直接推广。 定义 {{Math theorem | name = 定義 | math_stat…
合同矩阵
在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，如果有同数域上的可逆矩阵 P，使得 :A=P^\mathrm{T} B P \, 。 其中的P^\mathrm{T}表示矩阵P的转置矩阵。 对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。 在有限维线性空间中同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。 性质 合同关系是一个等价关系，也就是说满足： :反身性：A=…
酉矩阵
在線性代數中，么正矩陣（又译作-{zh-cn:幺正矩阵; zh-tw:酉矩陣;}-，英語：unitary matrix）指其共軛轉置恰為其逆矩陣的複數方陣，數學描述如下： :（數學定義）U^U=UU^=I_n， :（推論）U^{-1} = U^。 其中 是 的共軛轉置， 是 單位矩陣。 么正矩陣是正交矩陣（元素均為實數）在複數的推廣。 例子 以下是一個酉矩陣的例子： :U=\begin{bmatrix} -\frac{i}{\sqrt{…
库仑矩阵
库仑矩阵（），是用来表示分子内笛卡尔坐标系集合和核电荷的矩阵： M_{IJ} = \begin{cases} 0.5Z_I^{2.4}, & I=J \\ \frac{Z_IZ_J}{\left \vert{R_I-R_J}\right \vert} , & I\neq J \end{cases} 其中，非对角元素对应原子I和J之间的库仑排斥，对角元素对应拟合核电荷得到的原子能量。 参考资料
汉克尔矩阵
汉克尔矩阵（），线性代数中是指每一条副对角线上的元素都相等的方阵，由德國數學家赫尔曼·汉克尔推導命名。漢克爾矩陣的行列式稱為。 H_n=\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}\\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_{n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n-1} & a_n & a_{…
格拉姆矩阵
线性代数中，内积空间中一組向量 v_1,\dots, v_n 的格拉姆矩阵（）是内积的埃尔米特矩阵，其元素由 G_{ij}=\langle v_i,v_j \rangle 给出。 格拉姆矩陣的一个重要应用是驗證一組向量是否線性獨立：一組向量彼此線性獨立当且仅当其格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。 格拉姆矩阵以丹麦数学家命名。 例子 最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或 L2 空间中函数，比如闭区间 [a, b] 上的连续函数…
置换矩阵
在数学中的矩阵论裡，置换矩阵（）是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1，其余元素都是0。在线性代数中，每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素（n维空间的基）的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。 严格定义 每个n元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。设π 为一个n元置换： :\pi : \lbrace 1, \ldots…
正规矩阵
在数学中，正规矩阵（） \mathbf{A}是与自己的共轭转置满足交换律的复系数方块矩阵，也就是说， \mathbf{A}满足 : \mathbf{A}^ \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{A}^ 其中\mathbf{A}^是\mathbf{A}的共轭转置。 如果\mathbf{A}是实系数矩阵，则\mathbf{A}^ = \mathbf{A}^T，从而条件简化为\mathbf{A}^T \mathbf{…