在线性代数中, 范德蒙德矩阵（Vandermonde matrix）是一个各-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-(row)呈现出几何级数关系的矩阵，得名于亞歷山大‑泰奧菲爾·范德蒙。
\left(m+1\right)\times\left(n+1\right)矩阵
:V = V(x_0, x_1, \cdots, x_m) =
\begin{bmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n\\
1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n\\
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^n\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & x_m & x_m^2 & \dots & x_m^n
\end{bmatrix}
其中每一项是V_{i,j}=x_i^j，也就是x_i的j次方，其中下标i和j从0开始。有些作者将范德蒙德矩阵定义为上述矩阵的转置。
当n=m时，即范德蒙德矩阵为方阵时，其行列式称作范德蒙德行列式或，范德蒙德行列式的值为：
:\det\left(V\right)=\prod_{0\le i
范德蒙德行列式非零当且仅当所有x_i互异（即任意二者皆不相等），此时范德蒙德矩阵可逆。
应用
多项式插值问题就是取找到一个多项式 p\left(x\right)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_n x^n 对给定的数据点 \left(x_0,y_0\right),\dots,\left(x_m,y_m\right) 满足 p\left(x_0\right)=y_0, \dots,p\left(x_m\right)=y_m，这个问题可以在之后以范德蒙德矩阵为工具，用线性代数的语言改述。通过矩阵乘法V\mathbf{a} = \mathbf{y}，V 可以计算 p(x) 在点 x=x_0,\ x_1,\dots,\ x_m 处的值。其中 \mathbf{a}=\left(a_0,\dots,a_n\right)^T 是系数向量，而 \mathbf{y} = \left(y_0,\dots,y_m\right)^T= \left(p\left(x_0\right),\dots,p\left(x_m\right)\right)^T 是值的向量都写作列向量的形式：
\begin{bmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n\\
1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n\\
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^n\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & x_m & x_m^2 & \dots & x_m^n
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
a_0\\a_1\\\vdots\\a_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
p\left(x_0\right)\\p\left(x_1\right)\\\vdots\\p\left(x_m\right)
\end{bmatrix}.
若 n = m 且 x_0,\dots, x_n 互异，则 V 是行列式不为零的方块矩阵，也就是可逆矩阵。由此，对给定的 V和\mathbf{y}，可以透过求解方程 V\mathbf{a}=\mathbf{y} 来得到其系数\mathbf{a} 以求出所需的 p(x): \mathbf{a} = V^{-1}\mathbf{y}.
此时，从系数到多项式的值是以V表示的线性双射(一一映射)，并且此插值问题有唯一解，这个结果叫做唯一性定理，是的特例。
在统计学中，方程 V\mathbf{a}=\mathbf{y} 表示范德蒙德矩阵是多项式回归的设计矩阵。
在数值分析中，可以朴素地使用高斯消元法作为一个算法来求解 V\mathbf{a}=\mathbf{y}，其时间复杂度为 \Omicron\left(n^3\right)。利用范德蒙德矩阵的结构，可利用牛顿差商插值法（或拉格朗日插值法）以 \Omicron\left(n^2\right) 的复杂度求解这个方程，同时也给出了 V^{-1} 的LU分解。即使 V 是病态的，这个求解算法也可以得到极其精确的结果
当x_i的值属于一个有限域时，范德蒙德行列式也被称作，并且具有对BCH码与里德-所罗门码理论来说重要的性质，
离散傅里叶变换由离散傅里叶变换矩阵定义，此矩阵是一特定的范德蒙德矩阵，其中 x_i 处是 n 次单位根(\mathrm{e}^{\frac{2i\pi\mathrm{i}}{n}}\quad\left(i=0,\dots,n-1\right)). 快速傅里叶变换通过计算此矩阵与向量的乘积达到了 \Omicron\left(n\log^2\left(n\right)\right)的时间复杂度。 详见。
在物理学理论的量子霍尔效应中，范德蒙德行列式指出，填充因子为1的等于斯莱特行列式；然而在分数量子霍尔效应中，对于不同于1的填充因子，这一说法不再成立。
在多面体几何中, 范德蒙德矩阵矩阵给出了任意 k 维面的正规化量度。 具体来说，若 F = C_{d}\left(t_{i_{1}}, \dots, t_{i_{k + 1}}\right) 是循环多胞形 C_d(T) \subset \mathbb{R}^{d} 的一个k维面，而这个循环多胞形又与 T = \{t_{1} 对应，则有：
\mathrm{nvol}(F) = \frac{1}{k!}\prod_{1 \leq m
参阅
- 拉格朗日插值法
- 朗斯基行列式
参考文献
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