斜埃尔米特矩阵
如方块矩阵A的共轭转置A也是其负数，則A是斜厄米矩阵或反厄米矩阵（）： :A* = −A 或者，如A = (a*i,j)： :a_{i,j} = -\overline{a_{j,i}} 对于所有i和j。 例子 例如，以下矩阵便是斜厄米矩阵： :\begin{bmatrix}i & 2 + i \\ -2 + i & 3i \end{bmatrix} 性质 斜厄米矩阵的特征值全是纯虚数。更进一步，斜厄米矩阵都是正规矩阵。因此它们可对角化，…
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幂零矩阵
幂零矩阵（）是一个n×n的方块矩阵M，满足以下等式： :M^q = 0\, 对于某个正整数q。类似地幂零变换是一个线性变换L，满足L^q = 0对于某个整数q。 幂零矩阵是幂零元──一个更加一般的概念的特殊情况，不仅可以应用于矩阵和线性变换，也可以应用于环的元素。 例子 考虑以下的矩阵： : N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0…
共轭转置
矩阵A的共轭转置（，又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置（））A^的定义为： :(A^)_{i,j} = \overline{A_{j,i}} 其中(\cdot)_{i,j}表示矩阵i行j列上的元素，\overline{(\cdot)}表示标量的复共轭。 这一定义也可以写作： :A^ = (\overline{A})^\mathrm{T} = \overline{A^\mathrm{T}} 其中A^\mathrm{T} \,\!是矩阵A的转置…
散布矩阵
多元变量统计和概率论中，散布矩阵是一种统计量，用于估计协方差矩阵，例如多元正态分布的协方差矩阵。 定义 给定m维数据的n个样本，写作m×n矩阵X=[\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_n]，则样本均值为 :\overline{\mathbf{x}} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \mathbf{x}_j 其中\mathbf{x}_j是X的第j列。 散布矩阵是m×m…
矩阵分裂
数值线性代数中，矩阵分裂（matrix splitting）是一种将给定矩阵表为多个矩阵和或差的表示。很多迭代法（如解微分方程组的）都依赖于直接求解比三对角矩阵更一般的矩阵的方程，若将其分裂，通常可以更高效地求解。这项技术由Richard S. Varga（1960）发明。 正则分裂 解矩阵方程 其中A是给定n阶非奇异方阵，k是给定n元列向量。A可分裂为 B、C都是n阶方阵。对元素非负的任意n阶方阵M，可以记作\mathbf{M}\ge…
收敛矩阵
线性代数中，收敛矩阵是在求幂过程中收敛到零矩阵的矩阵。 背景 矩阵T的幂随次数增加而变小时（即T的所有项都趋近于0），T收敛到零矩阵。可逆矩阵A的正则分裂会产生收敛矩阵T。A的半收敛分裂会产生半收敛矩阵T。将T用于一般的迭代法，则对任意初向量都是收敛的；半收敛的T则要初向量满足特定条件才收敛。 定义 n阶方阵T若满足 {{NumBlk|::|\forall i=1,\ 2,\ \dots,\ n,\ j=1,\ 2,\ \dots,\ …
初等矩阵
线性代数中，初等矩阵（又稱為基本矩陣）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。 操作 初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的-{zh-cn:行; zh-tw:列}-/-{zh-cn:列; zh-tw:行}-变换。 ;两-{zh-cn:行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）互换： : R_i \leftrigh…
非奇异方阵
非奇异矩阵 (又称 可逆矩阵 或 正则矩阵) 是一种存在逆元的方块矩阵。相反的，若方阵不存在逆元，则称为 奇异矩阵。 相关定理 方阵A\,非奇异与以下论述等价： A\,是可逆的。 A^TA\,是可逆的。 A\,的行列式不为零。 A\,的秩等於n\,（A\,满秩）。 A\,的轉置矩陣A^T\,也是可逆的。 A\,代表的线性变换是个自同构。 存在一n\,階方陣B\,使得AB=I_n\,（I_n\,是单位矩阵）。 存在一n\,階方陣B\,使得…
豪斯霍尔德变换
豪斯霍尔德变换（）或譯「豪斯霍德轉換」，又称初等反射（），最初由在1932年提出。阿尔斯通·斯科特·豪斯霍尔德在1958年指出了这一变换在数值线性代数上的意义。这一变换将一个向量变换为由一个超平面反射的镜像，是一种线性变换。其变换矩阵被称作豪斯霍尔德矩阵，在一般内积空间中的类比被称作。超平面的法向量被称作豪斯霍尔德向量。 定义 如果 v 给出为单位向量而 I 是单位矩阵，则描述上述线性变换的是 豪斯霍尔德矩阵 （v^ 表示向量 v 的共…
可对角化矩阵
可对角化矩阵是可化簡為对角矩阵的方阵。矩阵對角化后大幅降低了某些属性的計算難度，比如其行列式就是对角線上所有數字的乘積，而对角線上的數字就是其特征值。 可對角化也使该线性变换的几何意义更直觀，因為每個线性变换都可以對應到一個矩陣，所以将矩阵对角化等價於找到一组基底，使的线性变换的作用僅僅是伸缩基底向量而已。類似的，若用对角矩阵表示差分方程组或者微分方程组的係數的話，這樣每條等式只含有一個未知函数，這樣也大幅度了化簡了方程式的難度。 若尔…
线性矩阵不等式
线性矩阵不等式是凸优化中，具有形式： \operatorname{LMI}(y) := A_0+ y_1 A_1+y_2 A_2+\cdots +y_m A_m\geq0\, 的表达式, 其中, y=[y_i \, , ~i \! = \! 1, \dots, m] 是一个实向量, A_0, A_1, A_2, \dots, A_m 是 n \times n 的实对称矩阵 \mathbb{S}^n, B\geq0 是廣義的不等式，意思是…
不变因子
数学中，不变因子是λ-矩阵理论中的概念。不变因子定义为λ-矩阵的若尔当标准型中主对角线上出现的非零元素。对矩阵进行初等变换不会影响不变因子，所以两个等价的矩阵拥有相同的不变因子。在不变因子的概念上可以进一步定义初等因子的概念。 定义 λ-矩阵是以不定元λ的多项式作为元素的矩阵。例如： A(\lambda) = \begin{bmatrix} a_{11}(\lambda) & a_{12}(\lambda) & \cdots & a_{…
中心化矩阵
数学和多元变量统计中，中心化矩阵指对称幂等矩阵，且当其与向量相乘时，效果等用于从向量的每个分量中减去分量的平均值。 定义 大小为n的中心化矩阵是n×n的 :C_n = I_n - \tfrac{1}{n}J_n 其中I_n\,是单位矩阵，J_n是n×n一矩阵。例如 :C_1 = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} , :C_2= \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 \\ 0 & 1…
矩阵环
矩阵环就是考慮矩阵在環R下經由矩阵加法和矩阵乘法形成的环，從環R中的元素組成的n×n 方阵形成的矩陣環記作Mn(R)，某些无限阶矩阵也可以組成无限矩阵环，任何矩阵环的子环也都是矩陣环。如 R是一个交换环，则矩阵环Mn(R)是一个结合代数，被称为矩阵代数。在这种情况下，如果 M是一个矩阵， r∈ R，那么矩阵Mr也是矩阵，其矩陣元為M的矩陣元乘r。 這篇文章假设R是可結合環且单位1≠0（单位1=0的只有零环)，虽然没有单位也可以形成矩…
盖尔曼矩阵
]] 盖尔曼矩阵，以物理學家默里·蓋爾曼命名，為SU(3)群無窮小生成元的一種表象。此群的李代數維度為8，因此有8組線性獨立的生成元，可寫為g_i，i值從1到8。 特殊表象 \lambda_i（i=1到8）表示如下： : 这八个\lambda_i矩阵是厄米的，满足对易关系： :[g_i, g_j] = if^{ijk} g_k \, 其中， :g_i = \frac{\lambda_i}{2} \, 上面出现的g_i是按照“归一化”条件…
矩阵群
在数学中，一个矩阵群（）G 由某个域 K（通常为了方便是固定的）上可逆方块矩阵组成，群运算分别为矩阵乘法与矩阵乘法的逆运算。更一般地，我们可考虑一个交换环 R 上的 n × n 矩阵（矩阵的大小限制为有限，因为任何群可表示为任何域上一个无限矩阵群）。线性群（）是同构于一个域 K 上矩阵群的抽象群，换句话说，在 K 上有一个忠实有限维表示。 任何有限群是线性的，因为利用凯莱定理可以实现为置换矩阵。在无限群中，线性群组成有趣且易于处理的一类…
单元素矩阵
在数学中，单元素矩阵是一个矩阵，其中只有一个元素为一，其余元素为零，例如： :\mathbf{J}^{23} = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]. 它是稀疏矩阵的特定类型。 当单元素矩阵在矩阵的左侧相乘时，可以将其视为行选择器，例如： : \mathbf{J}^{23}\mathbf{A} = \left[ \beg…
瓊斯運算
在光學中，可以以瓊斯運算來描述偏振的現象。瓊斯運算是1941年由麻省理工學院的R. C. Jones教授所發明。偏振光的狀態以瓊斯向量表示，而其他線性的光學元件則以瓊斯矩陣表示。當偏振光通過偏振片或是波板時，把原來偏振狀態的瓊斯向量乘以光學元件的瓊斯矩陣，即可運算出新的偏振態。必須要注意瓊斯運算只適用於完全極化的光，如果是部分極化、無極化或不同調則需使用穆勒運算。 瓊斯向量 瓊斯矩陣 以下是常見的偏振片，以瓊斯矩陣的方式表示。 以下是常…
帕斯卡矩阵
帕斯卡矩阵是以组合数为元素的矩阵。 其中S_n=L_n U_n 性质 帕斯卡对称矩阵S_n的元素为： :S_{ij} = \binom {i+j-2}{i-1} S_n的迹为： :tr(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2} （A006134） 帕斯卡下三角矩阵L_6的逆为： :\begi…
刚度矩阵
在有限元方法和弹簧系统分析中，刚度矩阵K是對稱半正定矩阵，其将胡克定律中的刚度推广为矩阵形式，描述了所有自由度之间的刚度，从而得到 :\mathbf{F}=-K\mathbf{x} 其中F是力，x是位移矢量，而 :U=\frac{1}{2} \;\mathbf{x}^\top\! K \mathbf{x} 是系统的总势能。 对于简单的弹簧网络，刚度矩阵是拉普拉斯矩阵（为实施牛顿第三定律），描述了自由度之间的连通图。对于非对角线上的元素k…