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线性矩阵不等式

Wikipedia · 2024-01-14 维基百科 👁 1 阅读

线性矩阵不等式是凸优化中，具有形式：

\operatorname{LMI}(y) := A_0+ y_1 A_1+y_2 A_2+\cdots +y_m A_m\geq0\,

的表达式, 其中,

  • y=[y_i \, , ~i \! = \! 1, \dots, m] 是一个实向量,
  • A_0, A_1, A_2, \dots, A_m 是 n \times n 的实对称矩阵 \mathbb{S}^n,
  • B\geq0 是廣義的不等式，意思是在\mathbb{S}^n的半正定子空間 \mathbb{S}_+內，B是半正定矩陣。

线性矩阵不等式表示y的凸集限制條件。
應用
有一些有效率的數值方法可以判斷线性矩阵不等式是否可行（是否存在向量y使得LMI(y) ≥ 0），或解出有LMI限制條件的凸優化問題。
許多控制理论、系統識別及信号处理的最佳化問題都可以表示為线性矩阵不等式。线性矩阵不等式也可以應用在中。原型的原始及對偶半定規劃都是實線性函數的最小化，分別屬於控制此LMI的原始凸錐及對偶凸錐。
求解
凸優化的主要突破是導入了内点法。這個方法是在一系列的論文中發展的。在尤里·涅斯捷羅夫及阿爾卡迪·內米羅夫斯基探討LMI問題的論文中引起學術界的注意。

參考資料

  • Y. Nesterov and A. Nemirovsky, Interior Point Polynomial Methods in Convex Programming. SIAM, 1994.

外部連結

#矩阵 #不等式

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