线性代数中，初等矩阵（又稱為基本矩陣）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。
操作
初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的-{zh-cn:行; zh-tw:列}-/-{zh-cn:列; zh-tw:行}-变换。
;两-{zh-cn:行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）互换：
: R_i \leftrightarrow R_j
;把某-{zh-cn:行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）乘以一非零常数：
: kR_i \rightarrow R_i,\ 其中 k \neq 0
;把第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）加上第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）的 k 倍：
: R_i + kR_j \rightarrow R_i
初等矩阵即是将上述 3 种初等变换应用于一单位矩阵的结果。以下只讨论对某列的变换。
-{zh-cn:行; zh-tw:列}-互换
此变换 Ti j 将单位矩阵的第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的所有元素与第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-互换。
:
T_{i j} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & 1 & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad
性质
:*逆矩阵即自身：T_{i j}^{-1} = T_{i j}。
:*因为单位矩阵的行列式为1，故 \det T_{i j} =-1。對所有階數相同的方阵 A 亦有以下性质：\det T_{i j}A=-\det A。
把某-{zh-cn:行; zh-tw:列}-乘以一非零常数
此变换 Ti(m) 将第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的所有元素乘以一個非零常数 m。
:
T_i (m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & m & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{bmatrix}\quad
性质
:*逆矩阵为 T_{i}(m)^{-1} = T_{i}(\frac{1}{m})。
:*此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵。
:*其行列式 \det T_{i}(m)=m，故對所有階數相同的方阵 A 都有 \det (T_{i}(m)A)=m\det A。
把第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-加上第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的 m 倍
此变换 Ti j(m) 将第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-加上第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的 m 倍，其中 m 为第 i -{zh-cn:列; zh-tw:行}-第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的元素。
:
T_{i j}(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & m & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}
性质
:*逆矩阵具有性质 T_{i j}(m)^{-1}=T_{i j}(-m)。
:*此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵。
:*其行列式 \det T_{i j}(m)=1，故對所有階數相同的方阵 A 有 \det (T_{i j}(m)A) = \det A。
应用
在解线性方程组中的应用
初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等-{zh-cn:行; zh-tw:列}-变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等-{zh-cn:列; zh-tw:行}-变换没有改变像却改变了核。
用于求解一个矩阵的逆矩阵
有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同列行数的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。
另见
*高斯消元法
*线性方程组
*矩阵
注释
参考
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