帕斯卡矩阵

帕斯卡矩阵是以组合数为元素的矩阵。

其中S_n=L_n U_n

性质
帕斯卡对称矩阵S_n的元素为：
:S_{ij} = \binom {i+j-2}{i-1}

S_n的迹为：
:tr(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2} （A006134）

帕斯卡下三角矩阵L_6的逆为：
:\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0\\1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0\\1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\-1 & 3 & -3 & 1 & 0 & 0\\1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0\\-1 & 5 & -10 & 10 & -5 & 1\end{pmatrix}

帕斯卡矩阵可从超对角矩阵的指数构造出来：
:\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0\\1 & 3 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\-1/2\\1/6\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/6\\0\end{pmatrix}

应用
利用帕斯卡矩阵的逆求解线性方程与等幂求和问题，例如：

: \sum_{i=1}^{n} i^{3} = \begin{pmatrix} C^n_1 & C^n_2 & C^n_3 & C^n_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1^3 \\ 2^3 \\ 3^3 \\ 4^3 \end{pmatrix}= C^n_1+7C^n_2+12C^n_3+6C^n_4

参见
*杨辉三角形
*LU分解

参考资料