数学和多元变量统计中，中心化矩阵指对称幂等矩阵，且当其与向量相乘时，效果等用于从向量的每个分量中减去分量的平均值。
定义
大小为n的中心化矩阵是n×n的
:C_n = I_n - \tfrac{1}{n}J_n
其中I_n\,是单位矩阵，J_n是n×n一矩阵。例如
:C_1 = \begin{bmatrix}
0 \end{bmatrix}
,
:C_2= \left[ \begin{array}{rrr}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right] - \frac{1}{2}\left[ \begin{array}{rrr}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rrr}
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{array} \right]
,
:C_3 = \left[ \begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right] - \frac{1}{3}\left[ \begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array} \right]
= \left[ \begin{array}{rrr}
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{array} \right]
性质
给定长为n的列向量\mathbf{v}\,，C_n\,的中心性可表为
:C_n\,\mathbf{v} = \mathbf{v} - (\tfrac{1}{n}J_{n,1}^\textrm{T}\mathbf{v})J_{n,1}
其中J_{n,1}是值全为1的列向量，\tfrac{1}{n}J_{n,1}^\textrm{T}\mathbf{v}是\mathbf{v}\,的分量的平均值。
- C_n\,是正半定对称阵。
- C_n\,是幂等矩阵，所以C_n^k=C_n\ (k=1,2,\ldots)。均值被移除的话它就是零，再次移除也没有任何影响。
- C_n\,是奇异矩阵/不可逆矩阵。应用C_n\,\mathbf{v}变换的效果无法逆转。
- C_n\,具有重数为n-1的特征值1与重数为1的特征值0
- C_n\,沿向量J_{n,1}有维度为1的零空间。
- C_n\,是正交投影矩阵。也就是说C_n\mathbf{v}是\mathbf{v}\,在n-1维线性子空间上的投影，其与零空间J_{n,1}正交（这是所有分量和为0的n向量构成的子空间）。
- C_n的迹是n(n-1)/n = n-1。
应用
虽然与中心化矩阵相乘并不是去除向量均值的有效计算方法，但却是一种方便的分析工具。它不仅可用来去除单个向量的均值，还可去除存储在m×n矩阵X的行或列中多个向量的均值。
左乘C_m将从n列的每一列减去相应的均值，这样积C_m\,X的每列的均值都是0。相似地，右乘C_n会从每行减去相应的均值，这样积X\,C_n的每行均值都为0。两侧均乘：C_m\,X\,C_n将产生行列均值均为0的矩阵。
中心化矩阵提供了一种表示散布矩阵的方法：对数据样本X\,，有S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm{T}})(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}，其中\mu=\tfrac{1}{n}X J_{n,1}是样本均值。有了中心化矩阵，可以将散布矩阵更简洁地表示为
:S=X\,C_n(X\,C_n)^{\mathrm{T}}=X\,C_n\,C_n\,X\,^{\mathrm{T}}=X\,C_n\,X\,^{\mathrm{T}}.
C_n是多项分布的协方差矩阵，在特殊情况下分布参数为k=n，p_1=p_2=\cdots=p_n=\frac{1}{n}。
参考文献
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