共轭转置

矩阵A的共轭转置（，又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置（））A^*的定义为：
:(A^*)_{i,j} = \overline{A_{j,i}}
其中(\cdot)_{i,j}表示矩阵i行j列上的元素，\overline{(\cdot)}表示标量的复共轭。

这一定义也可以写作：
:A^* = (\overline{A})^\mathrm{T} = \overline{A^\mathrm{T}}
其中A^\mathrm{T} \,\!是矩阵A的转置，\overline{A}\,\!表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置：

• A^* \,\!或A^\mathrm{H} \,\!，常用于线性代数
• A^\dagger \,\!，普遍用于量子力学，而同時A^* \,\!只表示為A \,\!的複數共軛。
• A^+ \,\!（但这一记号通常指矩阵的摩尔－彭若斯广义逆)

注意：某些情况下A^* \,\!也指仅对矩阵元素取复共轭，而不做矩阵转置，切勿混淆。

实例
若
:A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix} ，
则
:A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}。

基本评注
如果A的元素是实数，那么A与A的转置A*T相等。把复值方块矩阵视为复数的推广，以及把共轭转置视为共轭复数的推广通常是非常有用的。

元素为a_{ij}的方块矩阵A称为：

• 埃尔米特矩阵或自伴矩阵，如果A = A，也就是说，a_{ij}=a_{ji}^ ；
• 斜埃尔米特矩阵或反埃尔米特矩阵，如果A = −A，也就是说，a_{ij}=-a_{ji}^{} ；
• 正规矩阵，如果AA = AA**。

即使A不是方块矩阵，AA和AA**仍然是埃尔米特矩阵和半正定矩阵。

性质

• (A + B) = A* + B**。
• (rA) = rA，其中r为复数，r*为r*的复共轭。
• (AB) = BA，其中A为m行n列的矩阵，B*为n行p列矩阵。
• (A) = A 。
• 若A为方阵，则det(A) = (det A)，且tr(A) = (tr A) 。
• A是可逆矩阵，当且仅当A可逆，且有(A*)−1 = (A−1) 。
• A的特征值是A*的特征值的复共轭。
• = *y>，其中A为m列n行的矩阵，复向量x为n维行向量，复向量y为m维行向量，为复数的内积。

推广

• 从上面给出的最后一个性质可以推出，如果我们把A视为从希尔伯特空间Cn到Cm的线性变换，则矩阵A对应于A*的自伴算子。于是，希尔伯特空间之间的自伴算子可以视为矩阵的共轭转置的推广。
• 还可以进行另外一种推广：假设A是一个从复值向量空间V到W的线性映射，那么可以定义复共轭线性映射和线性映射的转置，并可以取A的共轭转置为A的转置的共轭复数。它把W的共轭对偶映射到V的共轭对偶。

参见

• 埃尔米特伴随

参考资料
外部链接
*
*