线性代数中，收敛矩阵是在求幂过程中收敛到零矩阵的矩阵。

背景
矩阵T的幂随次数增加而变小时（即T的所有项都趋近于0），T收敛到零矩阵。可逆矩阵A的正则分裂会产生收敛矩阵T。A的半收敛分裂会产生半收敛矩阵T。将T用于一般的迭代法，则对任意初向量都是收敛的；半收敛的T则要初向量满足特定条件才收敛。

定义
n阶方阵T若满足

{{NumBlk|::|\forall i=1,\ 2,\ \dots,\ n,\ j=1,\ 2,\ \dots,\ n,\ \lim_{k \to \infty}( \mathbf T^k)_{ij} = 0,|}}

则称T是是收敛矩阵。

例子
令
:\begin{align}
& \mathbf{T} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\[4pt]
0 & \frac{1}{4}
\end{pmatrix}.
\end{align}
T的幂是
:\begin{align}
& \mathbf{T}^2 = \begin{pmatrix}
\frac{1}{16} & \frac{1}{4} \\[4pt]
0 & \frac{1}{16}
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{T}^3 = \begin{pmatrix}
\frac{1}{64} & \frac{3}{32} \\[4pt]
0 & \frac{1}{64}
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{T}^4 = \begin{pmatrix}
\frac{1}{256} & \frac{1}{32} \\[4pt]
0 & \frac{1}{256}
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{T}^5 = \begin{pmatrix}
\frac{1}{1024} & \frac{5}{512} \\[4pt]
0 & \frac{1}{1024}
\end{pmatrix},
\end{align}
:\begin{align}
\mathbf{T}^6 = \begin{pmatrix}
\frac{1}{4096} & \frac{3}{1024} \\[4pt]
0 & \frac{1}{4096}
\end{pmatrix},
\end{align}
综之，
:\begin{align}
\mathbf{T}^k = \begin{pmatrix}
(\frac{1}{4})^k & \frac{k}{2^{2k - 1}} \\[4pt]
0 & (\frac{1}{4})^k
\end{pmatrix}.
\end{align}
由于
: \lim_{k \to \infty} \left( \frac{1}{4} \right)^k = 0
: \lim_{k \to \infty} \frac{k}{2^{2k - 1}} = 0,
T是收敛矩阵。注意其谱半径\rho(\mathbf{T})=\frac14，因为\frac14是T唯一的特征值。

特征
设T是n阶方阵，则下列表述等价于T的收敛矩阵：
#对某自然范数， \lim_{k \to \infty} \| \mathbf T^k \| = 0
#对所有自然范数， \lim_{k \to \infty} \| \mathbf T^k \| = 0

\rho( \mathbf T )

#\forall \mathbb{x},\ \lim_{k \to \infty} \mathbf T^k \mathbf x = \mathbf 0

对任意初向量\mathbf{x}^{(0)}\in \R^n，序列 \lbrace \mathbf{x}^{ \left( k \right) } \rbrace _{k = 0}^{\infty} 由()定义，\forall k\ge 0,\ \mathbf{c}\neq 0，当且仅当\rho(\mathbf{T})收敛于()的唯一解，即T是收敛矩阵。
正则分裂
矩阵分裂是用多个矩阵的和或差表示矩阵。对()所示的线性方程组，若A可逆，则A就可分裂为

{{NumBlk|::| \mathbf{A} = \mathbf{B} - \mathbf{C} |}}

于是()可重写为()。当且仅当\mathbf{B}^{-1}\ge\mathbf{0},\ \mathbf{C}\ge \mathbf{0}时，()式是A的正则分裂；即\mathbf{B}^{-1},\ \mathbf{C}只有非负元素。若分裂()是A的正则分裂、且\mathbf{A}^{-1}\ge\mathbf{0}，则\rho(\mathbf{T})，T是收敛矩阵，迭代法()收敛。

半收敛矩阵
n阶方阵T，若极限

{{NumBlk|::| \lim_{k \to \infty} \mathbf T^k |}}

存在，则称之为半收敛矩阵。若A可能奇异，而()齐次，即b在A的范围内，则当且仅当T是半收敛矩阵时，对任何初向量\mathbf{x}^{(0)}\in \R^n，()定义的序列收敛到()的解。这时，分裂()称作A的半收敛分裂。

另见
*高斯-赛德尔迭代
*雅可比法
*矩阵列表
*幂零矩阵
*逐次超松弛迭代法

注释
参考文献

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