在线性代数裡，正定矩阵（）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
定义
一个 n\times n 的实对称矩阵 M 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 \mathbf{z}，都有 \mathbf{z}^T M\mathbf{z} >0。其中 \mathbf{z}^T表示 \mathbf{z} 的转置。对于复数的情况，定义则为：一个 n\times n 的埃尔米特矩阵 M 是正定的若且唯若对于每个非零的複向量 \mathbf{z}，都有 \mathbf{z}^ M\mathbf{z} >0。其中 \mathbf{z}^**表示 \mathbf{z} 的共轭转置。
這樣的定義仰賴一個事實：对于任意的埃爾米特矩陣 M 及複向量 \mathbf{z} ，\mathbf{z}^* M\mathbf{z} 必定是实数。
首先，因為 M 是埃爾米特矩陣，所以我們有 M^ = M。接下來我們計算所求的共轭转置：(\mathbf{z}^ M \mathbf{z})^ = \mathbf{z}^ M^ (\mathbf{z}^)^ = \mathbf{z}^ M \mathbf{z}。因為 \mathbf{z}^ M\mathbf{z} 是純量且其共軛複數等於自身，所以根據複數的性質，我們得出 \mathbf{z}^ M\mathbf{z} 是實數。
正定矩陣
对於 n\times n 的埃尔米特矩阵 M，下列性质与「M 为正定矩阵」等价：
M 的所有的特征值 \lambda_i 都是正的。 根据谱定理，M 与一个实对角矩阵 D 相似（也就是说 M = U^{-1}DU ，其中 U 是酉矩阵，或者说 M 在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，M是正定阵当且仅当相应的 D 的对角线上元素都是正的。 另外，也可以假設 \lambda_i 和 \mathbf{v}_i 是 M 的一組特徵值與特徵向量，根據定義 M\mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i，從左側同乘以 *\mathbf{v}_i^ 得到：\mathbf{v}_i^ M\mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i^ \mathbf{v}_i = \lambda_i \Vert \mathbf{v}_i \Vert ^2*。因為 M 是正定矩陣，根據定義我們有 \mathbf{v}_i^ M\mathbf{v} >0。移項整理後可以得到 \lambda_i = \frac{\mathbf{v}^ M\mathbf{v}}{\Vert\mathbf{v}_i\Vert^2} >0。注意因為特徵向量 \mathbf{v}_i \neq \mathbf{0}*，所以前述 \lambda_i 不會有無解的情形。
半双线性形式 \langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y} 定义了一个 \mathbb{C}^n上的内积。实际上，所有 \mathbb{C}^n上的内积都可視為由某个正定矩阵通过此种方式得到。
M 是向量 \textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k 構成的格拉姆矩阵，其中 k\in\mathbb{Z}^+。更精确地说，M=[m_{ij}] 定义为：m_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{} \textbf{x}_j 。换句话说，M 具有 A^A 的形式，其中 A 不一定是方阵，但必須是单射的。
M 的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（）。明确地说，就是考察 M 左上角大小 1\times 1,\ldots,n\times n 的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言，相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子： \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
存在唯一的下三角矩阵 L，其主对角线上的元素全是正的，使得 M=L L^。其中 L^是 L 的共轭转置。这一分解被称为科列斯基分解。
对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 \mathbb{C}^n改为 \mathbb{R}^n，並将「共轭转置」改为「转置」即可。
二次型
由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用 \mathbb{K} 代表 \mathbb{C} 或 \mathbb{R}，设 \mathbb{V} 是 \mathbb{K} 上的一个向量空间。一个埃尔米特型：
:B : V \times V \rightarrow K
是一个双线性映射，使得 B(\mathbf{x},\mathbf{y}) 总是 B(\mathbf{y},\mathbf{x}) 的共轭。这样的一个映射 B 是正定的若且唯若對於 \mathbb{V} 中所有的非零向量 \mathbf{x}，都有 B(\mathbf{x},\mathbf{x}) >0。
负定、半定及不定矩阵
与正定矩阵对应，一个 n\times n 的埃尔米特矩阵 M 是负定矩阵（）若且唯若对所有非零向量 \mathbf{z} \in \mathbb{R}^n（或 \mathbf{z} \in \mathbb{C}^n），都有 z^{*} M z 。
M是半正定矩阵（）若且唯若對於所有非零向量 \mathbf{z} \in \mathbb{R}^n（或 \mathbf{z} \in \mathbb{C}^n），都有 z^{*} M z \geq 0。
M是半负定矩阵（）若且唯若對於所有非零向量 \mathbf{z} \in \mathbb{R}^n（或 \mathbf{z} \in \mathbb{C}^n），都有 z^{*} M z \leq 0。
如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵（）。
可以看出，上一节中正定矩陣的第一個等价性质只需作出相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当 M 是半正定时，相应的格拉姆矩阵不必由线性獨立的向量组成。对於任意矩阵 A，A^A必是半正定的，并有 \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^A)（两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作 M=A^*A，这就是科列斯基分解。
对於任意矩阵 A，因為 (A^A)^=A^(A^)^=A^A ，因此 A^A 是埃爾米特矩陣。令 \mathbf{v}\in\mathbb{C}^n，則 \mathbf{v}^ (A^A) \mathbf{v} = (\mathbf{v}^A^)(A\mathbf{v})=(A\mathbf{v})^(A\mathbf{v})=\Vert A\mathbf{v}\Vert^2 \geq 0，因此 A^A 是半正定的。另外，我們很容易證明 A 與 A^A 有相同的零空間，根據秩 – 零化度定理，我們可以得到它們有相同的秩。
一个埃尔米特矩阵 M 是负定矩阵若且唯若 M 的所有奇数阶顺序主子式小于 0，所有偶数阶顺序主子式大于 0。当 M 是负定矩阵时，M 的逆矩阵也是负定的。
相关性质
若 M 为半正定矩阵，可以記作 M \geq 0 。如果 M 是正定矩阵，可以記作 M > 0 。这个记法来自泛函分析，其中的正定矩阵定义了正算子。
对于一般的埃尔米特矩阵，M、N， M\geq N 若且唯若 M-N \geq 0 。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义M>N。
非埃尔米特矩阵的情况
一个实矩阵 M 可能满足對於所有的非零实向量 \mathbf{x} ， \mathbf{x}^T M\mathbf{x} >0 ，卻不是对称矩阵。举例来说，矩阵
: \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} 就满足这个条件。对於 \mathbf{x}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} 并且 \mathbf{x}\neq\mathbf{0} ， \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 。
一般来说，一个实系数矩阵 M 满足对所有非零实向量 \mathbf{x} ， \mathbf{x}^T M\mathbf{x} >0 ，若且唯若对称矩阵 (M+M^T)/2 是正定矩阵。
对于复系数矩阵，情况可能會不太一样。主要考慮如何扩展 \mathbf{z}^ M\mathbf{z} >0 这一性质。要使得 \mathbf{z}^ M\mathbf{z} 总为实数，矩阵 M 必须是埃尔米特矩阵。因此，若 \mathbf{z}^ M\mathbf{z} 总是正实数， M 必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将 \mathbf{z}^ M\mathbf{z} >0 扩展为 \Re(\mathbf{z}^ M\mathbf{z}) >0 ，则等价于 (M+M^)/2 为正定矩阵。
参见
- 确定双线性形式
- 矩阵的平方根
- 舒尔补
*
- 正定函数
- 科列斯基分解
- 线性矩阵不等式
- 合同矩阵
参考资料
- Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
- Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.
外部链接
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