线性代数中，内积空间中一組向量 v_1,\dots, v_n 的格拉姆矩阵（）是内积的埃尔米特矩阵，其元素由 G_{ij}=\langle v_i,v_j \rangle 给出。
格拉姆矩陣的一个重要应用是驗證一組向量是否線性獨立：一組向量彼此線性獨立当且仅当其格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。
格拉姆矩阵以丹麦数学家命名。
例子
最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或 L2 空间中函数，比如闭区间 [a, b] 上的连续函数（是 L 2（[a, b]）的子集）。
给定区间 [t_0,t_f] 上的实数值函数 \{\ell_i(\cdot),\,i=1,\dots,n\}，格拉姆矩阵G=[G_{ij}]，由函数的标准内积给出：
: G_{ij}=\int_{t_0}^{t_f} \ell_i(\tau)\ell_j(\tau)\, d\tau.
给定一个实矩阵 A，矩阵 A^\top A 是 A 的列向量的格拉姆矩阵，而矩阵 AA^\top 是 A 的行向量的格拉姆矩阵。
对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式 B，我们可对一组向量 v_1,\dots, v_n 定义一个格拉姆矩阵 G 为 G_{i,j} = B(v_i,v_j) \, 。如果双线性形式 B
对称则该格拉姆矩阵对称。
应用
- 如果向量是随机变量，所得格拉姆矩阵是协方差矩阵。
- 在量子化学中，一组基向量的格拉姆矩阵是重叠矩阵（Overlap matrix）。
- 在控制论（或更一般的系统理论中），可控制性格拉姆矩阵、可观测性格拉姆矩阵及交叉格拉姆矩陣确定了线性系统的性质。
- 格拉姆矩阵出现在协方差结构模型中（比如可参见 ）。
- 在有限元方法中，格拉姆矩阵出现在从有限维空间逼近函数时；格拉姆矩阵的元素是有限维子空间的基函数的内积。
性质
半正定
格拉姆矩阵是半正定的，反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩阵是单位矩阵。
这个命题无穷维类比是）。
基变换
在一个由可逆矩阵 P 表示的基变换下，格拉姆矩阵是用 P 做一个矩阵合同变为 PTGP。
格拉姆行列式
格拉姆行列式（）是格拉姆矩阵的行列式：
:G(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix}
\langle x_1,x_1\rangle & \langle x_1,x_2\rangle &\dots & \langle x_1,x_n\rangle \\
\langle x_2,x_1\rangle & \langle x_2,x_2\rangle &\dots & \langle x_2,x_n\rangle \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\langle x_n,x_1\rangle & \langle x_n,x_2\rangle &\dots & \langle x_n,x_n\rangle
\end{vmatrix}.
在几何上，格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地，这些向量线性无关当且仅当格拉姆行列式不为零（当且仅当格拉姆矩阵非奇异）。
外部链接
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- [http://www.owlnet.rice.edu/~fjones/chap8.pdf Volumes of parallelograms] by Frank Jones
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