非奇异方阵
非奇异矩阵 (又称 可逆矩阵 或 正则矩阵) 是一种存在逆元的方块矩阵。相反的，若方阵不存在逆元，则称为 奇异矩阵。 相关定理 方阵A\,非奇异与以下论述等价： A\,是可逆的。 A^TA\,是可逆的。 A\,的行列式不为零。 A\,的秩等於n\,（A\,满秩）。 A\,的轉置矩陣A^T\,也是可逆的。 A\,代表的线性变换是个自同构。 存在一n\,階方陣B\,使得AB=I_n\,（I_n\,是单位矩阵）。 存在一n\,階方陣B\,使得…
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豪斯霍尔德变换
豪斯霍尔德变换（）或譯「豪斯霍德轉換」，又称初等反射（），最初由在1932年提出。阿尔斯通·斯科特·豪斯霍尔德在1958年指出了这一变换在数值线性代数上的意义。这一变换将一个向量变换为由一个超平面反射的镜像，是一种线性变换。其变换矩阵被称作豪斯霍尔德矩阵，在一般内积空间中的类比被称作。超平面的法向量被称作豪斯霍尔德向量。 定义 如果 v 给出为单位向量而 I 是单位矩阵，则描述上述线性变换的是 豪斯霍尔德矩阵 （v^ 表示向量 v 的共…
基变更
基底的變換或稱基的變換（change of basis）在线性代数中，n 维向量空间的基是 n 个向量 α1, ..., αn 的序列，带有所有这个空间中的向量可以唯一的表达为基向量的线性组合的性质。因为经常需要处理一个向量空间的多于一个的基，在线性代数中能够轻易的变换向量的逐坐标表达，和变换关于一个基的线性映射到关于另一个基的等价表达是根本重要的。这种变换叫做基变更。 尽管下面采用了术语向量空间，符号 R 意味着实数域，这里讨论的结果…
仿射空间
仿射空间 （英文: Affine space)，又称线性流形，是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。 仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量，或称平移向量。如果X是仿射空间，a,b \in X，那么从a到b的位移向量为b-a。虽然无法做点与点之间…
重心坐标
数学中，重心坐标是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。 设v1, ..., vn是向量空间V中一个单形的顶点，如果V中某点p满足， :(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)\, p = \lambda_1 \, v_1 + \cdots +\lambda_n \, v_n , 那么我们称系数（λ1, ..., λn）是 p关于v1, ..., vn的重心坐标。这些顶点自己的坐标…
零空间
在数学中，一个算子 A 的零空间是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A 的核（核空间）。用集合建造符号表示为 :\hbox{Null}(A) = \{\mathbf{v} \in V : A\mathbf{v} = \mathbf{0} \}. 尽管术语核更加常用，术语零空间有时用在避免混淆于积分变换的情境中。应当避免把零空间混淆于零向量空间，它是只有零向量的空间。 如果算子是在向量空间上的线性算子，零空间就是线性子空…
商空间 (线性代数)
在线性代数中，一个向量空间V关于子空间N的商是将N“坍塌”为零得到的向量空间。所得的空间称为商空间（），记作V/N（读作：V模N）。 定义 正式地，此构造如下。设V是域K上的一个向量空间，且N是V的一个子空间。我们定义在V上定义一个等价关系~，如果x − y ∈ N则令x ~ y。即如果其中一个加上N中一个元素得到另一个，则x与y相关。x的所在等价类通常记作 :[x] = x + N， 因为它由 :[x] = {x + n : n ∈ …
向量空间的维数
数学中, 向量空间 V 的维数是 V 的基底的势，即基底中向量的个数。向量空间的维数有时也称作哈梅尔维数（Hamel basis）或代数维数以便与其他类型的维数相区别。 向量空间中的所有基底具有相等的势（参阅向量空间的维数定理）。所以向量空间的维数是唯一并确定的. 若F为域， F上的向量空间 V 的维数可记为 dimF(V) 或 [V : F], 读作 " V 在 F 上的维数"。 当上下文中给出明确的F 时, 通常记为 dim(V) …
线性子空间
线性子空间（或向量子空间）在线性代数和相关的数学领域中是重要的。在没有混淆于其他子空间的时候通常简称为“子空间”。 定义 在线性代数和其他数学相关领域，一个线性子空间（或向量子空间）U是给定域\mathfrak{R}向量空间V的一个子集，并且它还是V的加法子群，同时，在纯量乘下回到自身，那么，V上运算在U上的限制导出U的向量空间结构，我们把U称为V上的向量（或线性）子空间。 定理 设 V 是在域 K 上的向量空间，并设 W 是 V 的子…
行空间与列空间
定义 矩阵的行空间和列空间均为特殊的子空间，均属矩阵的四大基本子空间之一。 行空间定义 设一m 行 n列实元素 矩阵为A（m × n 矩阵），则其行空间（英文：Row Space）是由矩阵A的所有行向量所生成的Rn上的子空间，记作C(AT)或R(A)。其中，矩阵AT（n × m 矩阵 ）被称为矩阵A的转置。 行空间C(AT)中的所有向量均为矩阵A的行向量的某种线性组合，都为Rn上的向量（即n维向量）。 C(AT)的维度等于矩阵A的行秩，…
阿达马不等式
数学中的阿达马不等式給出一個基於n维複矩陣行向量;}-的行列式值上界。當僅套用於實數時，其可以在歐幾里得空間中，由n支向量\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots \mathbf{v}_n 标出的体积。' 这不等式的几何意义是当向量为正交集时体积最大。这结果相对于标量乘法齊次，所以只需证明单位向量\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots \mathbf{e}_n的结果。在这情况，不…
西尔维斯特惯性定理
在代数学中，西尔维斯特惯性定理（）是指在实数域中，一个形如a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+a_{13}x_1x_3+...+a_{nn}x_n^2的二次型通过线性变换可以化简成惟一的标准型y_1^2+y_2^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-....-y_r^2。其中的正项数（称为正惯性系数）、负项数（称为负惯性系数）以及 0 的数目惟一确定，其中的r为系数矩阵的秩。正惯性系数p－负惯性系数 (r-p) 的值…
矩阵的谱
矩阵的谱（Spectrum of a matrix）是一個數學術語，指一個矩阵的特徵值的集合。一般地，若T\colon V\to V是有限维向量空间V上的线性变换，则它的频谱为一系列标量\lambda的集合，满足矩阵T-\lambda I不可逆。矩阵特征值之积等于矩阵的行列式，而特征值之和等于矩阵的迹。以此觀點，可以定義奇异方阵的為其非零特徵值的乘積（計算多元正态分布的密度會需要此數值）。 在許多應用中（例如PageRank），會關注特…
核 (代数)
在归入线性代数的各种数学分支中，同态的核测量同态不及于单射的程度。 核的定义在不同上下文中采用不同的形式。但是在所有形式中，同态的核是平凡的（在与那个上下文有关的意义上），当且仅当这个同态是单射。同态基本定理（或第一同构定理）是应用于核所定义的商代数的采用了各种形式的一个定理。 例子纵览 线性算子 设 V 和 W 是向量空间并设 T 是从 V 到 W 的线性变换。如果0W 是 W 的零向量，则 T 的核是单元素集合 {0W} 的前像；就…
舒尔补
在线性代数与矩阵论中，一个矩阵的子矩阵之舒尔补是一个与其余子阵同样大小的矩阵，定义如下：假设一个 (p+q)×(p+q)的矩阵M被分为A, B, C, D四个部分，分别是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩阵，也就是说： :M=\left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right] 并且D是可逆的矩阵。则D在矩阵中的舒尔补是： :A-BD^{-1}C. 这是一个p×p的矩阵。 舒尔…
辛向量空间
数学中，一个辛矢量空间是带有辛形式 ω 的向量空间 V，所谓辛形式即一个非退化斜对称的双线性形式。 确切地说，一个辛形式是一个双线性形式 ω ：V × V → R 满足： 斜对称：ω(u, v) = −ω(v, u)，对所有 u, v ∈ V 成立； 非退化：如果 ω(u, v) = 0 对所有 v ∈ V 成立，那么 u = 0 。 取定一组基，ω 能表示为一个矩阵。以上两个条件表明这个矩阵必须是斜对称非奇异矩阵。这不同于下面将介绍的…
非线性特征值问题
非线性特征值问题是特征值, 非线性依赖于特征值的方程的特征值问题的推广. 具体来说, 非线性特征值问题指的是具以下形式的方程: :A(\lambda) \mathbf{x} = 0 , \, 其中 x 是向量(非线性"特征向量"), A 是 \lambda (非线性"特征根")的函数矩阵.(更一般的, A(\lambda) 可以是一个线性映射, 但最常用的是有限维矩阵, 通常为方阵.) 通常要求 A 为 \lambda (在某个定义域内…