等周定理
等周定理，又稱等周不等式（），是一个几何中的不等式定理，说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理說明在周界长度相等的封闭几何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的几何形狀之中，以圓形的周界长度最小。這兩種說法是等價的。它可以以不等式表達：若P為封闭曲線的周界长，A為曲線所包圍的區域面積，4 \pi A \le P^2。 虽然等周定理的结论早已为人所知，但要严格的证…
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共 10 篇文章
埃尔德什-莫德尔不等式
的距离之和（绿色线段）大于或等于到三边距离之和（蓝色线段）的两倍]] 在几何学中，埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了：对于任何三角形ABC和其内部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。 埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于或等于内切圆半径的两倍。 历史 该不等式最早由埃尔德…
三角不等式
三角不等式是數學上的一個不等式，表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。 歐式几何 {{Math theorem | math_statement = 任意三角形\Delta ABC都有： :|\overline{AB} - \overline{BC}| }} 至於： :\overline{AC} = \overline{AB…
欧拉定理 (几何)
在平面几何学中的欧拉定理是说，三角形的外心与内心之间的距离d 可表示为 : d^2=R (R-2r) \, 其中R为外接圆半径，r为内切圆半径。 从欧拉定理可推出欧拉不等式 (當三角形等邊時，等號成立)： :R ≥ 2r. 证明 (1)當d=0時，表示外心O與內心I重合，此時易證三角形\displaystyle ABC為正三角形，且R=2r，因此\displaystyle d^2=R (R-2r) 。 (2)當d大於0時，請參考右下圖：…
三角形内角的嵌入不等式
三角形内角的嵌入不等式是平面几何中的一个不等式。在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数 x、y、z，有： :x^2+y^2+z^2 \geqslant 2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B. 首先发现此不等式的是英国数学家。他在1867年出版的《数学问题集》一书中对嵌入不等式做出介绍。 证明 注意到不等式：(x - y \cos C - z \cos …
阿达马不等式
数学中的阿达马不等式給出一個基於n维複矩陣行向量;}-的行列式值上界。當僅套用於實數時，其可以在歐幾里得空間中，由n支向量\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots \mathbf{v}_n 标出的体积。' 这不等式的几何意义是当向量为正交集时体积最大。这结果相对于标量乘法齊次，所以只需证明单位向量\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots \mathbf{e}_n的结果。在这情况，不…
外森比克不等式
外森比克不等式（）是有关三角形边长和面积的一个不等式。設三角形的邊長為a,b,c，面積為A，則外森比克不等式声称a^2+b^2+c^2 \ge 4 \sqrt{3} A成立。若且唯若三角形為等邊三角形，等號成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。 在1961年国际奥林匹克数学竞赛中，此题曾被拿來要求学生证明。 证明一 除了“所有平方数非负”以外，这个证明不用到其它任何不等式。 : \begin{align} {} & (a^2 - b^…
芬斯拉不等式
芬斯拉不等式（Finsler's Inequality）是一条反映了三角形三边与其面积之间的关系的几何不等式。 设△ABC的三边长分别为a, b, c，面积为S，则 :a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}S （当且仅当a=b=c时，等号成立）……（1） 证明一：如图，因任意△ABC的三条高至少有一条在△ABC内，不妨设BC边上的高AD在△ABC内，设AD=h，BD=m，DC=n，则有 :a^2=(m+n)^2，b^2=h^…
佩多不等式
幾何學的佩多不等式，是關連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出：如果第一個三角形的邊長為a,b,c，面積為f，第二個三角形的邊長為A,B,C，面積為F，那麼： :A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16Ff， 等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形，對應邊成比例； 也就是\tfrac{a}{A}=\tfrac{b}{B}=\t…
邁爾斯定理
邁爾斯定理，或稱博內-邁爾斯定理，是黎曼幾何的經典結果。這定理說如完備黎曼流形M的里奇曲率有下界(n-1)k>0，那麼其直徑不超過\frac \pi {\sqrt k}。 而且，如直徑等於\frac \pi {\sqrt k}，則流形和有常截面曲率k的球面等距。 這結果對流形的萬有覆叠同樣成立，特別地，M和其覆蓋都緊緻，所以覆叠是有限葉的，M 有有限基本群。 參考 S. B. Myers, Riemannian manifolds wi…