欧拉定理 (几何)

在平面几何学中的欧拉定理是说，三角形的外心与内心之间的距离d 可表示为

: d^2=R (R-2r) \,

其中R为外接圆半径，r为内切圆半径。

从欧拉定理可推出欧拉不等式 (當三角形等邊時，等號成立)：

:R ≥ 2r.

证明
(1)當d=0時，表示外心O與內心I重合，此時易證三角形\displaystyle ABC為正三角形，且R=2r，因此\displaystyle d^2=R (R-2r) 。

(2)當d大於0時，請參考右下圖：

(a)设三角形ABC的外心为O，内心为I，延长AI交外接圆于L，则L为弧BC的中点。连LO延长交外接圆于M，过I作ID垂直于AB，D为垂足，则ID = r。易证三角形\displaystyle ADI与三角形\displaystyle MBL相似，故\frac{ID}{BL} =\frac{AI}{ML}，即ID \times ML = AI \times BL。所以2Rr = AI \times BL。

(b)连接\displaystyle BI，因

:\angle BIL =\angle BAI+\angle ABI=\frac{\angle BAC}{2} + \frac{\angle ABC}{2}，

:\angle IBL = \angle IBC + \angle CBL = \frac{\angle ABC}{2} + \frac{\angle BAC}{2}，

所以\angle BIL = \angle IBL，有\displaystyle BL = IL，由(a)的結論知AI \cdot IL = 2Rr。

(c)設\displaystyle OI延长线交外接圆于\displaystyle P,\;\displaystyle Q 两点，则PI \cdot QI = AI \cdot IL = 2Rr，所以\displaystyle (R+d)(R-d) = 2Rr，即\displaystyle d^2=R (R-2r) 。