三角形内角的嵌入不等式是平面几何中的一个不等式。在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数 x、y、z，有：
:x^2+y^2+z^2 \geqslant 2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B.
首先发现此不等式的是英国数学家。他在1867年出版的《数学问题集》一书中对嵌入不等式做出介绍。
证明
注意到不等式：(x - y \cos C - z \cos B)^2 +(y \sin C - z \sin B)^2 \geqslant 0 对所有的实数 x、y、z以及任意角A、B、C成立，将其左侧展开，就得到：
:
x^2 + y^2 (\cos^2 C +\sin^2 C) + z^2 (\cos^2 B +\sin^2 B) -2xy \cos C - 2xz\cos B - 2yz \sin B \sin C + 2yz \cos B \cos C \geqslant 0
:
x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 2xy \cos C + 2xz\cos B + 2yz (\sin B \sin C - \cos B \cos C)
:
x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 2xy \cos C + 2xz\cos B - 2yz \cos (B+C)
由于A、B、C是三角形内角，\cos (B+C) = \cos (\pi - A) = - \cos A，因此上式等价于
:
x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 2xy \cos C + 2xz\cos B + 2yz \cos A.
从证明中可推出，不等式中等号成立当且仅当y \sin C = z \sin B和x = y \cos C + z \cos B同时成立。也就是说，要么x = y = z = 0，要么x:y:z = \sin A : \sin B : \sin C。
推广与加强
从以上证明中可以看到，证明成立的关键是\cos (B+C) + \cos A = 0，所以可以将条件中的“A、B、C是三角形内角”推广到“A + B + C = (2k+1)\pi, \, k\in \mathbb{N}”。而如果 A + B + C = 2k\pi，则\cos (B+C) = \cos A，展开恒成立的不等式 (x + y \cos C + z \cos B)^2 +(y \sin C - z \sin B)^2 \geqslant 0便可得到不等式
:x^2+y^2+z^2 + 2xy\cos C+2yz\cos A+2zx\cos B \geqslant 0.
这个不等式和三角形内角的嵌入不等式可以合写成一个不等式：
:(x_1^2+x_2^2)\frac{\cos \alpha_1}{\sin \alpha_1}+(x_2^2+x_3^2)\frac{\cos \alpha_2}{\sin \alpha_2}+(x_3^2+x_1^2)\frac{\cos \alpha_3}{\sin \alpha_3} \geqslant 2x_1 x_2 \frac{ \cos \varphi_1 }{\sin \alpha_1}+ 2 x_2 x_3 \frac{ \cos \varphi_2 }{\sin \alpha_2} + 2 x_3 x_1 \frac{ \cos \varphi_3 }{\sin \alpha_3} .
由这个不等式可以推出嵌入不等式的另一种推广：
:设 \alpha_1 ,\alpha_2 ,\cdots , \alpha_n满足 \alpha_1 +\alpha_2 +\cdots + \alpha_n = \pi， \varphi_1 ,\varphi_2 ,\cdots , \varphi_n满足 \varphi_1 +\varphi_2 +\cdots + \varphi_n = \pi，则有：
: \sum_{i=1}^n \frac{\cos \alpha_i}{\sin \alpha_i}(x_i^2 + x_{i+1}^2) \geqslant 2 \sum_{i=1}^n x_i x_{i+1} \frac{ \cos \varphi_i }{\sin \alpha_i}.
其中x_{n+1} = x_1。而当 \alpha_1 =\alpha_2 =\cdots =\alpha_n = \frac{\pi}{n}的时候，上面的不等式转化为：
:\cos \frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^n (x_i^2 + x_{i+1}^2) \geqslant 2 \sum_{i=1}^n x_i x_{i+1} \cos \varphi_i.
嵌入不等式是此不等式在n = 3时的特例
等价形式
设 A+B+C=k\pi, k\in\mathbb Z, x,y,z\in\mathbb R，则有
:(x+y+z)^2\geqslant 4yz\sin^2A+4zx\sin^2B+4xy\sin^2C,
等号成立当且仅当 x:y:z=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C。
证明
:LHS-RHS=(x+y\cos 2C+z\cos 2B)^2+(y\sin 2C-z\sin 2B)^2.
推论
对于 \triangle ABC，令 x=ua^2, y=vb^2, z=wc^2，其中 u,v,w\in\mathbb R，即得
:(ua^2+vb^2+wc^2)^2\geqslant 4\sum vwb^2c^2\sin^2A=16(vw+wu+uv)S^2,
等号成立当且仅当 ua^2:vb^2:wc^2=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C，即 u:v:w=\cot A:\cot B:\cot C。
一般形式
若非零实数 p,q,r 满足 2(pq+qr+rp)\geqslant p^2+q^2+r^2，则对任意实数 x,y,z 恒有
:(x+y+z)^2\geqslant \frac {2(pq+qr+rp)-p^2-q^2-r^2}{pqr}(pyz+qzx+rxy).
证明：
:\begin{align}
&\rm LHS-RHS\\
={}&\left(x+y+z-\frac{2(pq+qr+rp)-p^2-q^2-r^2}{2pqr}(ry+qz)\right)^2\\
&+\frac{2(pq+qr+rp)-p^2-q^2-r^2}{4p^2q^2r^2}\bigl((p+q-r)ry-(p-q+r)qz\bigr)^2.
\end{align}
参见
- 三角不等式
- 外森比克不等式
参考来源
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