芬斯拉不等式

芬斯拉不等式（Finsler's Inequality）是一条反映了三角形三边与其面积之间的关系的几何不等式。

设△ABC的三边长分别为a, b, c，面积为S，则

:a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}S （当且仅当a=b=c时，等号成立）……（1）

证明一：如图，因任意△ABC的三条高至少有一条在△ABC内，不妨设BC边上的高AD在△ABC内，设AD=h，BD=m，DC=n，则有

:a^2=(m+n)^2，b^2=h^2+n^2，c^2=h^2+m^2，S=\frac{(m+n)h}{2}，

:∵[h-\tfrac{\sqrt{3}(m+n)h}{2}]^2+[\tfrac{(m-n)h}{2}]^2 \ge 0 ……（2）

等号当且仅当h=\tfrac{\sqrt{3}(m+n)}{2}，且m=n时，即△ABC为正三角形时成立。展开（2）式并整理可得

:(m+n)^2+h^2+n^2+h^2+m^2 \ge 2\sqrt{3}(m+n)h，

:∴ a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}S。（当a=b=c时，等号成立）

注：证明的关键是巧妙在构造不等式（2），为此必须首先猜想到当a=b=c时，正三角形的面积最大，此时有m=n，h=\tfrac{\sqrt{3}(m+n)}{2}，利用这两个公式就可造出不等式（2）。

证明二：由余弦定理及三角形面积公式，

:a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S

:=a^2+b^2+(a^2+b^2-2ab \cos C)-2\sqrt{3}ab \sin C

:=2(a^2+b^2 - 2ab \sin (C+\frac{\pi}{6}) )

:\ge 2(a^2+b^2-2ab)=2(a-b)^2 \ge 0

当且仅当a=b，∠C=60°，即a=b=c时，等号成立。

芬斯拉不等式的推广
1、若a、b、c、d为四边形的四条边，S为其面积，则有

:a^2+b^2+c^2+d^2 \ge 4S

等号当且仅当四边形为正方形时成立。

2、若L_{1}、L_{2}、……、L_{n}为n边形的边长，S为其面积，则有

:L_1^2 + L_2^2 + …… L_n^2 \ge 4S\tan\tfrac{\pi}{n} (n \ge 3)

等号当且仅当这个n边形为正n边形时成立。