三角不等式

三角不等式是數學上的一個不等式，表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。

歐式几何
{{Math theorem
| math_statement =

任意三角形\Delta ABC都有：
:|\overline{AB} - \overline{BC}|
}}

至於：

:\overline{AC} = \overline{AB}+\overline{BC}

除非三點共線否則在欧氏几何中不可能，要有这种「三角形」只有在打破第五公設的非欧几里得几何裡才會出現，如球面幾何學的球面三角形。或閔考斯基時空：

: \| x+y \| \geq \| x \| + \| y \|     对所有 x,y \in V，使得\| x \| \geq 0, \| y \| \geq 0 和 t_x t_y \geq 0

這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。

向量空間
一種推廣三角不等式的方法是在「可相加和伸縮的空間」（向量空间）裡定義「長度」(范数)，嚴格來說就是所謂的賦範向量空間。但三角不等式在賦範向量空間是個不能證明的前提，而且不一定具有幾何中：
:\left|\overline{AB} - \overline{BC} \right|
\leq
\overline{AB} + \overline{BC}

的直觀性質，要確保這種直觀性質的話，需要退一步在向量空间假設内积的構造，換句話說有以下定理:

（證明請見内积空间#三角不等式）

實數與複數
事實上，实数系\R跟複數系\C都是以自己為域（純量母空間）的向量空間，它們的向量加法就是普通的加法；純量積就是普通的乘法；至於內積的話，任二複數z_1,\,z_2 \in \C的內積可以定義成：

: \langle z_1,\,z_2 \rangle := z_1\overline{z_2}

這樣範數就會等於绝对值：

: \|z_1\|^2 := \langle z_1,\,z_1 \rangle = z_1\overline{z_1} = |z_1|^2

而任二實數a,\, b \in \R的內積就只是普通的乘法：

: \langle a,\,b \rangle := a\overline{b} = ab
: \|a\|^2 = a\overline{a} = |a|^2

這樣兩系內的三角不等式都只是內積空間的特例：

其實上面兩式也可以用更基礎，只牽涉到複數運算的方式證明：

坐標空間
n維（实数）坐標空間\R^n本身就是以實數系\R為域（純量母空間）的向量空間，只要對任意a = (a_1,\,\dots,\,a_n) \in \R^n和b = (b_1,\,\dots,\,b_n) \in \R^n和純量 \lambda \in \R作如下定義：

(1)向量加法： a \oplus b
:=
(a_1 + b_1,\,\dots,\,a_n + b_n)

(2)純量乘法：\lambda \cdot a
:=
(\lambda a_1,\,\dots,\,\lambda a_n)

它也能成為實係數内积空间，只要作如下定義：

(3) 內積： \langle a,\, b \rangle
:=
a_1 b_1+\dots+a_n b_n

也就是普通的点积。這樣的話範數正好就等於直觀上的長度：
: \| a \| ^2 := \langle a,\,a \rangle = a_1^2+\dots+a_n^2

這樣實數座標空間的三角不等式就是內積空間不等式的特例了：

如果把把歐幾里得平面和\R^2做一對一對應的話，歐式几何一節的三角不等式就可以視為上式的特例；但也可以使用\R^2空間座標的運算性質來證明：
{{Math theorem
| math_statement =

對\R^2坐标系中任三點A,\,B,\,C有：
:\left| \, \left\| \overrightarrow{AB} \right\| - \left\|\overrightarrow{BC} \right\| \, \right|
\leq
\left\|\overrightarrow{AC} \right\|
\leq
\left\| \overrightarrow{AB} \right\| + \left\|\overrightarrow{BC} \right\|
}}
^ 2
= {\left\|\overrightarrow{AB} \right\|} ^ 2 + {\left\|\overrightarrow{BC} \right\|} ^ 2

• 2 \left( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} \right)

另一方面：
: {\left( \left\|\overrightarrow{AB} \right\|+ \left\|\overrightarrow{BC} \right\| \right)}^2
={\left\|\overrightarrow{AB} \right\|} ^ 2 + {\left\|\overrightarrow{BC} \right\|} ^ 2

• 2 \left\|\overrightarrow{AB} \right\|\left\|\overrightarrow{BC} \right\|

考慮到：
: - \left\| \overrightarrow{AB} \right\| \left\| \overrightarrow{BC} \right\|
\leq
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}
\leq
\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \left\| \overrightarrow{BC} \right\|

所以：
:\left\| \overrightarrow{AC} \right\|
\leq \left\|\overrightarrow{AB} \right\| + \left\|\overrightarrow{BC} \right\|

同樣的對 \overrightarrow{AB} 和 \overrightarrow{BC} 如法炮製就有：
:\left\| \overrightarrow{AB} \right\|
\leq \left\|\overrightarrow{AC} \right\| + \left\|\overrightarrow{CB} \right\|
:\left\| \overrightarrow{BC} \right\|
\leq \left\|\overrightarrow{BA} \right\| + \left\|\overrightarrow{AC} \right\|

換句話說：
:\left| \, \left\| \overrightarrow{AB} \right\| - \left\|\overrightarrow{BC} \right\| \, \right|
\leq \left\|\overrightarrow{AC} \right\|

至此三角不等式成立。\Box

|}
參見

• 次可加性

参考文献