仿射空间 （英文: Affine space)，又称线性流形，是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。

仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量，或称平移向量。如果X是仿射空间，a,b \in X，那么从a到b的位移向量为b-a。虽然无法做点与点之间的加法， 但是可以通过仿射组合(系数和为1的线性组合)的方式进行点的变化，仿射组合的系数构成了一个重心坐标 。
所有向量空间都可看作仿射空间。若X是向量空间，L \subseteq X是向量子空间，a \in X, 则a + L = \{a+l:l \in L\}是仿射空间。这里的a也称为平移向量。若向量空间X的维度是n ，那么X的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解；对应的(去掉平移向量的)齐次方程的解是线性子空间，因为齐次方程的解永远包含零解。维度为n-1的仿射空间也叫做仿射超平面。

非正式描述
下面的非正式描述可能比正式的定义更容易理解。仿射空间像是没有原点的向量空间，其中向量只有方向和大小。假设有甲乙两人，其中甲知道一个空间中真正的原点，但是乙认为另一个点p才是原点。现在求两个向量a和b的和。乙画出p到a和p到b的箭头，然后用平行四边形找到他认为的向量a + b。但是甲认为乙画出的是向量p +(a-p) +(b-p)。同样的，甲和乙可以计算向量a和b的线性组合，通常情况下他们会得到不同的结果。然而，请注意：如果线性组合系数的和为1，那么甲和乙将得到同样的结果！

如果乙从他的原点p向\lambda a + (1 -\lambda)b方向行走，
则从甲的角度来看，乙的行程为p + \lambda(a - p) + (1 - \lambda)(b - p) = \lambda a + (1 - \lambda)b.

仿射空间就是这样产生的：定义仿射组合为系数和为1的线性组合；甲知道空间的「线性结构」，但是甲和乙都知道空间的「仿射结构」，也就是空间中所有仿射组合的值。
那么对于所有满足\lambda + (1 - \lambda) = 1的系数，即使甲乙从不同的原点开始，他们将以同样的线性组合描述同样的点。

定义
称集合 A 是仿射空间，是指其满足如下性质：
#存在一个与之相伴的向量空间 B
#存在一个映射 f :\begin{align}
A \times B &\to A \\
(a,v)\ &\mapsto a + v
\end{align}，且这个映射有如下性质：
##右幺性：\forall a \in A, a+0_{B}=a;
##结合律：\forall \alpha, \beta \in B, a \in A 成立 (a+\alpha)+\beta=a+(\alpha+\beta);
##正则性：给定 A 中的元素a , \exists f_a: B \rightarrow A 是双射.
从定义中不难得出集合 A 还具有如下性质:

\forall \alpha \in B, f_\beta: a \mapsto a + \alpha 是一个双射;

减法： \forall a, b \in A, \exists \alpha \in B 使得 b= a+\alpha , 记这个 \alpha 为 b-a .

另一种等价的定义可以表述为：集合 A 是仿射空间, 是指存在某个向量空间V , V 在 A 上的作为加法群的群作用是自由且可迁的.

参阅
*仿射几何
*仿射变换

• 仿射群
• 区间测度
• heap (数学)
• 空间 (数学)

参考文献
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• Ernst Snapper and Robert J. Troyer, Metric Affine Geometry, Dover Publications; Reprint edition (October 1989)