在线性代数与矩阵论中，一个矩阵的子矩阵之舒尔补是一个与其余子阵同样大小的矩阵，定义如下：假设一个 (p+q)×(p+q)的矩阵M被分为A, B, C, D四个部分，分别是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩阵，也就是说：
:M=\left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]
并且D是可逆的矩阵。则D在矩阵中的舒尔补是：
:A-BD^{-1}C.
这是一个p×p的矩阵。
舒尔补得名于数学家伊赛·舒尔，后者用舒尔补来证明舒尔引理。然而，舒尔补的概念在之前就曾经被使用过。
背景
舒尔补实际上是对原来的矩阵M进行一系列的初等变换操作后得到的矩阵，其转换矩阵是下三角矩阵：
:L=\left[\begin{matrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix}\right].
其中Ip表示一个p×p的单位矩阵。矩阵M右乘转换矩阵L之后，左上角就会出现舒尔补，具体的形式是：
:M\cdot L= \left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} A-BD^{-1}C & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{matrix}\right].
因此，矩阵M的逆，如果存在的话，可以用D^{-1}以及其舒尔补（如果存在的话）来表示：
: \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]^{-1} =
\left[ \begin{matrix} I & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix}\right]
\left[ \begin{matrix} (A-BD^{-1}C)^{-1} & 0 \\ 0 & I \end{matrix}\right]
\left[ \begin{matrix} I & -BD^{-1} \\ 0 & I \end{matrix}\right]
::::
= \left[ \begin{matrix} \left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} & -\left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} B D^{-1} \\ -D^{-1}C\left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} & D^{-1}+ D^{-1} C \left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} B D^{-1} \end{matrix} \right].
当p和q都等于1（即A、B、C和D都是系数）时，我们可以得到一般的2 × 2的矩阵的逆矩阵表达式：
: M^{-1} = \frac{1}{AD-BC} \left[ \begin{matrix} D & -B \\ -C & A \end{matrix}\right]
这也说明了AD-BC是非零的数。
在矩阵方程求解中的应用
舒尔补很自然地可以在如下的方程组求解中发挥作用：
:Ax + By = a
:Cx + Dy = b
其中x以及a是p维的列向量，而y以及b则是q维的列向量。矩阵A、B、C、D则同上面假设。将第二个方程左乘上矩阵BD^{-1}，并将得到后的方程与第一个相减，就得到：
:(A - BD^{-1} C) x = a - BD^{-1} b.\,
因此，如果可以知道D以及D的舒尔补的逆矩阵，就可以解出未知量x之后带入第二个方程Cx + Dy = b就可以解出y。这样，就将(p+q) \times (p+q)矩阵的求逆问题转化成了分别求解一个p×p矩阵以及一个 q×q矩阵的逆矩阵的问题。这样就大大减低了复杂度（计算量）。实际上，这要求矩阵D满足足够好的条件，以使得算法得以成立。
概率论和统计学中的应用
假设有分别属于Rn以及Rm的随机列向量X, Y ，并且Rn+m中的向量对 (X, Y)具有多维正态分布，其方差矩阵是对称的正定矩阵
:V=\left[\begin{matrix} A & B \\ B^T & C \end{matrix}\right].
那么X在Y给定时的条件方差是矩阵C在V中的舒尔补：
:\operatorname{var}(X\mid Y) = A-BC^{-1}B^T.
参考来源
参见
- Woodbury单位矩阵
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