内积空间
内积空间（）是增添了某種運算的向量空间，這種運算叫做内积，它推廣了原來欧几里德空间的點積，而從比較一般的角度看待向量的“夹角”、“长度”還有“正交性”。 相關術語 内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（），因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。 在早期的著作中，本條目所定義的内积空间被称作-{zh-cn:酉;zh-tw:么正;}-空间，但這些著作裡的“内积空间”反而指的是有限維Euclid空间或可數維的Lp空间。 正式定义…
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共 8 篇文章
雙線性形式
在域F中，向量空間V的雙線性形式指的是一个V\times V\rightarrow F上的线性函数B，满足： : \forall v \in V，映射： :w \mapsto B(v, w) :w \mapsto B(w, v) 都是线性的。這個定義也適用於交換環的模，这时线性函数要改为模同态。 注意一個雙線性形式是特別的双线性映射。 坐標表示法 如果V是n維向量空間，设C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}是V的一组基。定义…
确定双线性形式
在数学中，确定双线性形式（Positive-definite bilinear form）是双线性形式B使得 :B(x, x) 在x不是0的时候有固定的符号（或正或负）。 要给出形式定义，设K是域R（实数）或C（复数）之一。假设V是在K上的向量空间，并且 :B : V × V → K 是Hermitian形式的双线性形式，在B(x, y)总是B(y, x)的复共轭的意义上。如果 :B(x, x) > 0 ，则B被称为正定 对于所有V中的…
退化雙線性形式
對於一個在體 F ,向量空間 V 中,V × V → F 的雙線性形式B，如果V中存在一些非零的向量\,x 使得对於任意\,y \in V有 : B(x,y)=0\,則稱B是一个退化双线性形式。 非退化双线性形式 如果B是一个双线性形式，但不是退化双线性形式，則B是一个非退化双线性形式。这意味着如果对於任意y \in V有 : B(x,y)=0 則x = 0 。 非退化双线性形式常見的例子是内积和辛形式。对称的非退化双线性形式是内积的推…
嘉当-迪厄多内定理
嘉当-迪奥多内定理，乃数学中以埃利·嘉当与让·迪厄多内命名的定理，此定理所涉及的是对称双线性形式的自同构群。 定理的陈述 设 (V,b) 是特征非 2 域上的一个 n-维非退化对称双线性空间。那么，任何一个正交群 O(V,b) 中的元素都能写成不多于 n 个反射的复合。 特征 2 的域，修改一下反射的定义，结论仍然成立，除了惟一的特例：K 只有两个元素（{0,1}），V 的维数为 4，b 的维特指数为2。 参见 正交群 参考文献 Syl…
迷向二次型
在数学中，一个域 F 上的二次型称为迷向（）的如果在一个非零向量上取值为零。不然称为非迷向（）的。更具体地，如果 q 是域 F 上向量空间 V 上一个二次型，则 V 中一个非零向量 v 称为迷向的如果 q(v)=0。一个二次型是迷向的当且仅当对这个二次型存在非零迷向向量。 假设 (V,q) 是二次空间，W 是一个子空间。如果 W 中所有向量都是迷向的，称之为 V 的一个迷向子空间；如果不存在任何非零迷向向量则称之为非迷向子空间。一个二次…
辛向量空间
数学中，一个辛矢量空间是带有辛形式 ω 的向量空间 V，所谓辛形式即一个非退化斜对称的双线性形式。 确切地说，一个辛形式是一个双线性形式 ω ：V × V → R 满足： 斜对称：ω(u, v) = −ω(v, u)，对所有 u, v ∈ V 成立； 非退化：如果 ω(u, v) = 0 对所有 v ∈ V 成立，那么 u = 0 。 取定一组基，ω 能表示为一个矩阵。以上两个条件表明这个矩阵必须是斜对称非奇异矩阵。这不同于下面将介绍的…
对称双线性形式
对称双线性形式是在向量空间上的对称双线性形式。它们在正交极性和二次曲面的研究中非常重要。 定义 设 V 在域 K 上的 n 维向量空间。映射 B : V\times V\rightarrow K:(u,v)\rightarrow B(u,v) 是这个空间上的对称双线性形式，如果: B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v \in V B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,…