雙線性形式

在域F中，向量空間V的雙線性形式指的是一个V\times V\rightarrow F上的线性函数B，满足：
: \forall v \in V，映射：
:w \mapsto B(v, w)
:w \mapsto B(w, v)
都是线性的。這個定義也適用於交換環的模，这时线性函数要改为模同态。

注意一個雙線性形式是特別的双线性映射。

坐標表示法
如果V是n維向量空間，设C=\{e_{1},\ldots,e_{n}\}是V的一组基。定义n\times n 阶的矩阵A使得(A_{ij})=B(e_{i},e_{j})。当n\times 1
的矩阵x和y表示向量u及v时，双线性形式B可表示为:
:B(u,v) = \mathbf{u}^T \mathbf{Bv}
考虑另一组基 C'=\begin{bmatrix}e'_{1} & \cdots & e'_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}e_{1} & \cdots & e_{n}\end{bmatrix}S ，其中S是一个可逆的n\times n 阶矩阵（基底转换矩阵），则双线性形式在C'下的矩阵A'的形式为：
:A' =S^{T}\cdot A\cdot S

对偶空间映射
\textbf{V}的每一個雙線性形式B都定義了一對由V射到它的对偶空间V^*的線性函数。
定义B_1,B_2\colon V \to V^* ：
:B_1(v)(w) = B(v,w) \,
:B_2(v)(w) = B(w,v) \,

常常記作：
:B_1(v) = B(v,{-}) \,
:B_2(v) = B({-},v) \,

這裡的(–)是放变量的位置。

如果V是有限维空间的话，V和它的雙对偶空間V^{}是同构的，这时B_2是B_1的轉置映射（如果V是无限维空间，B_2限制在V在V^{}的像下的部分是B_1的轉置映射）。 定義B的轉置映射為雙線性形式：
:B^*(v,w) = B(w,v). \,

如果V是有限维空间，B_1及B_2的秩相等。如果他们的秩等于V的維数的话，B_1和B_2就是由V到V^的同构映射（显然B_1是同构当且仅当B_2是同构），此时，B是非退化的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义：B*是非退化的当且仅当
:(\forall w,B(v,w)=0) \Rightarrow v=0.

镜像對稱性和正交性
雙線性形式B: V\times V\rightarrow F是镜像對稱的当且仅当:
:B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0

:有了镜像對稱性，就可以定义正交：两个向量v和w关于一个镜像對稱的双线性形式正交当且仅当：
:B(v,w)=0 \, 。
:一个双线性形式的根是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为x的向量v属于双线性形式的根当且仅当A x= 0 \,（等价于x^{T} A=0 \,），根一般是V的子空间，
当A是非奇异矩阵，即当B是非退化时，根都是零子空间\{0\}。

设W是一个子空间，定义W^{\perp}=\{v| B(v,w)=0\ \forall w\in W\}。

当B是非退化时，映射W\rightarrow W^{\perp}是双射，所以W^{\perp}的维数等于\dim (V)-\dim (W)。

可以证明，雙線性形式B是镜像對稱的当且仅当它是以下两者之一：
*對稱的：B(v,w)=B(w,v) \, \forall v,w\in V \,
*交替(alternating)的：B(v,v)=0 \, \forall v\in V \,

每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)（或称反对称(antisymmetric)）的，只要展开

:B(v+w, v+w)就可看出。

当F的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当\text{char}(F)=2时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在F的特征不为2时的情况下）

一个双线性形式是对称的当且仅当B_1,B_2\colon V \to V^* 相等，是旋钮对称的当且仅当B_1=-B_2。\text{char}(F)\neq 2时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解：
:B^{\pm} = {1\over 2}(B \pm B^*)
其中B^*是B的转置映射。

不同空間的推廣
這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形：

:B: V \times W \rightarrow F。

此時仍有從V到W的對偶、及從W到V的對偶的映射。當V, W皆有限維，則只要其中之一是同構，另一個映射也是同構。在此情況下B稱作完美配對。

張量積關係
由張量積的泛性質，V 上的雙線性形式一一對映至線性映射 V \otimes V \rightarrow F：若 B 是 V 上的雙線性形，則相應的映射由下式給出
:v\otimes w\mapsto B(v,w).
所有從 V \otimes V 到 F 的線性映射構成 V \otimes V 的對偶空間，此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素：
:(V\otimes V)^{} \cong V^{}\otimes V^{*}.
同理，對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 S^2 V^的元素，而交代雙線性形式則可想成二次外冪\Lambda ^2 V^的元素。

參见
*双线性映射
*多线性映射
*二次方程式
*半双线性形式

外部链接
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