單位矩陣
在線性代數中，n階單位矩陣，是一個n \times n的方形矩陣，其主對角線元素為1，其餘元素為0。單位矩陣以I_n表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為I（或者E）。 : I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & …
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错切
在数学中，剪切影射（）是特殊类型的线性变换。 基本形式 在平面 {(x,y): x,y ∈R} 中，直线 y = b 垂直错切成直线 y = mx + b 是通过如下线性映射完成的 : (x,y) \begin{bmatrix}1 & 0\\ m & 1\end{bmatrix} = (x+my,y) 类似的，垂直直线 x = a 水平错切成斜率 1/m 的直线表示为线性映射 : (x,y) \begin{bmatrix}1 & m\\…
分塊矩陣
在數學的矩陣理論中，一個分塊矩陣或是分段矩陣就是將矩陣分割出較小的矩形矩陣，這些較小的矩陣就稱為區塊。換個方式來說，就是以較小的矩陣組合成一個矩陣。分塊矩陣的分割原則是以水平線和垂直線進行劃分。分塊矩陣中，位在同一行（列）的每一個子矩陣，都擁有相同的列數（行數）。 通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是…
增广矩阵
增广矩阵，又稱廣置矩陣，是在线性代数中系数矩阵的右边添上线性方程组等号右边的常数列得到的矩阵，如：方程AX=B系数矩阵为A，它的增广矩阵为(A|B)。方程组唯一确定增广矩阵，通过增广矩阵的初等行变换可用于判断对应线性方程组是否有解，以及化简求原方程组的解。 使用范例 增广矩阵通常用于判断矩阵的有解的情况，下列A为线性方程组的系数矩阵，(A|B)为增广矩阵： 若\operatorname{rank}(A) ，方程组无解。 若\operat…
正定矩阵
在线性代数裡，正定矩阵（）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质類似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（複域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。 定义 一个 n\times n 的实对称矩阵 M 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 \mathbf{z}，都有 \mathbf{z}^T M\mathbf{z} >0。其中 \mathbf{z}^T表示 \mathbf{z} …
合同矩阵
在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，如果有同数域上的可逆矩阵 P，使得 :A=P^\mathrm{T} B P \, 。 其中的P^\mathrm{T}表示矩阵P的转置矩阵。 对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。 在有限维线性空间中同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。 性质 合同关系是一个等价关系，也就是说满足： :反身性：A=…
反线性映射
在数学中，从一个复数向量空间到另一个复数向量空间的映射 f : V → W 被称为是反线性的（或共轭线性或半线性的）如果 :f(ax+by)=\bar{a}f(x)+\bar{b}f(y) 对于所有 C 中 a, b 和 V 中所有 x, y。两个反线性映射的复合是线性的。 反线性映射 f:V\to W 可以等价的描述为到複共軛向量空間\bar W 的线性映射\bar f:V\to\bar W。 参见 複共軛 半双线性形式
壓縮感知
压缩感知（英语：Compressed sensing或Compressive sensing ），也被称为压缩采样（英语：Compressive sampling）或稀疏采样（英语：Sparse sampling），是一种寻找欠定线性方程组的稀疏解的技术。压缩感知被应用于电子工程尤其是信号处理中，用于获取和重构稀疏或可压缩的信号。该方法利用信号本身或其线性变化域稀疏的特性，相较于奈奎斯特–香农采样定理（英语：Nyquist–Shanno…
积和式
在线性代数中，积和式（）是一个由方块矩阵A计算得到的标量，记作\operatorname{perm}(A)。积和式的定义与行列式类似，只是在求和时不添加正负号。当矩阵A包含若干变量时，积和式也可以看作是一个关于这些变量的多项式。积和式在计算机科学，特别是计算复杂性理论中有重要的地位，因为理论上的一个重要难题——计算一个二分图（）上完美匹配（）的数目——等价于求某个矩阵的积和式。 定义 一个n \times n矩阵A=(a_{i,j})的…
叠加原理
（对角线）与鸭子航迹产生的波之叠加，在水中只近似满足线性关系。]] 在物理学与系统理论中，疊加原理（'），也叫叠加性质（'），说对任何线性系统“在给定地点与时间，由两个或多个刺激产生的合成反应是由每个刺激单独产生的反应之代数和。” 从而如果输入 A 产生反应 X，输入 B 产生 Y，则输入 A+B 产生反应 (X+Y)。 用数学的话讲，对所有线性系统 F(x)=y，其中 x 是某种程度上的刺激（输入）而 y 是某种反应（输出），刺激的叠…
三线坐标
平面几何中，一点关于给定三角形的三线坐标描述了它到三角形三条边的相对距离。三线坐标是齐次坐标的一个例子，经常简称为三线。 例子 内心有三线1:1:1，这就是说，从三角形ABC的内心到边BC、CA、AB的有向距离和实际距离有序三元组(r, r, r)成比例，这里r是三角形ABC内切圆的半径。注意到记号x:y:z用比例冒号区分三线和实际有向距离。实际距离有序三元组(kx, ky, kz)，能从比例x:y:z得到，利用面积关系不难算得 : k…
赝矢量
的線圈（黑色）會產生磁場（藍色）。若線圈的位置和電流都對應點線鏡面反射，其產生的磁場不會是原磁場的鏡面反射，會是原磁場反射後，再加以反向。線圈的位置和電流是向量，但產生的磁場是赝矢量]] 赝矢量（）也稱為偽向量，指的是在瑕旋轉下，除了隨之反射外，還会再上下翻轉的矢量（因為右手定則的關係）。矢量（极矢量）和赝矢量（轴矢量）都是广义上的矢量，在一般旋轉下的特性相同。但更严格地说，矢量还要求在瑕旋轉下，除了空间反演外，不會再改变方向。 在三維…
賦範向量空間
在数学中，赋范向量空间（）是具有“长度”概念的向量空间。是通常的欧几里得空间 \mathbb{R} 的推广。 \mathbb{R} 中的长度被更抽象的范数替代。“长度”概念的特征是： 零向量的长度是零，并且任意向量的长度是非负实数。 一个向量 v 乘以一个标量 a 时，长度应变为原向量 v 的 |a|（a 的绝对值）倍。 三角不等式成立。也就是说，对于两个向量 v 和 u，它们的长度和（“三角形”的两边和）大于 v+u（第三边）的长度。…
若尔当标准型
在线性代数中，若尔当标准型（）或若尔当正則式（）是在有限維向量空間上的線性映射的一個特殊的矩陣表達形式，稱作若尔当矩陣（）。 這矩陣接近对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方元素之外，其餘都是零，且主對角線上方的對角線的係數若不為零-{只}-能為1，且這1左方和下方的係數（都在主對角線上）有相同的值。谱定理和正规矩阵都是若尔当标准型的特殊情况，因為可以被對角化(diagonalizable)。若尔当矩阵理论说明了任何一个系数域为\math…
线性组合
線性組合（）是線性代數中具有如下形式的表达式。其中v_i为任意类型的项，a_i为标量。這些純量稱為線性組合的係數或權。 :w=a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n 定義 S為一向量空間V（附於體F）的子集合。 如果存在有限多個向量屬於S，和對應的純量a_1, a_2, \cdots, a_k屬於F，使得v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots…
核 (线性算子)
在线性代数与泛函分析中，一个线性算子 L 的核（，也称作零空间，）是所有使 L(v) = 0 的v的集合。这就是如果 L: V →W，则 :\ker(L) = \left\{ v\in V : L(v)=0 \right\}\text{,} 这里 0 表示 W 中的零向量。L 的核是定义域 V 的一个线性子空间。 一个线性算子 Rm → Rn 的核与对应的 n × m 矩阵的零空间相同。 性质 如果 L: V → W，则 V 中两个元素…
正交补
在线性代数和泛函分析的数学领域中，内积空间 V 的子空间 W 的正交补（） W^\bot 是正交于 W 中所有向量的所有 V 中向量的集合，也就是 :W^\bot=\left\{\,x\in V : \forall y\in W, \langle x , y \rangle = 0 \, \right\}.\, 正交补总是闭合在度量拓扑下。在希尔伯特空间中，W 的正交补的正交补是 W 的闭包，就是说 :W^{\bot\,\bot}=\o…
共轭转置
矩阵A的共轭转置（，又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置（））A^的定义为： :(A^)_{i,j} = \overline{A_{j,i}} 其中(\cdot)_{i,j}表示矩阵i行j列上的元素，\overline{(\cdot)}表示标量的复共轭。 这一定义也可以写作： :A^ = (\overline{A})^\mathrm{T} = \overline{A^\mathrm{T}} 其中A^\mathrm{T} \,\!是矩阵A的转置…
特征分解
线性代数中，特征分解（Eigendecomposition），又称谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。 特征值与特征向量的基础理论 N 维非零向量 v 是 N×N 的矩阵 A 的特征向量，当且仅当下式成立： : \mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} 其中 λ 为一标量，称…
初等矩阵
线性代数中，初等矩阵（又稱為基本矩陣）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。 操作 初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的-{zh-cn:行; zh-tw:列}-/-{zh-cn:列; zh-tw:行}-变换。 ;两-{zh-cn:行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）互换： : R_i \leftrigh…