克萊姆法則
克萊姆法則或克拉瑪公式（）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。 基本方程 一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示： Ax = c\, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1) 其中的A是…
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共 11 篇文章
LU分解
在线性代数與数值分析中，LU分解是矩阵分解的一种，将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，有时需要再乘上一个置换矩阵。LU分解可以被視為高斯消去法的矩陣形式。在数值计算上，LU分解經常被用来解线性方程组、且在求逆矩阵和计算行列式中都是一個關鍵的步驟。 定义 對於方阵 A， A 的 LU 分解是将它分解成一個下三角矩阵 L 與上三角矩阵 U 的乘積，也就是 : A = LU 如果適當的改變 A的行的順序或列的順序，就可以將 …
奇异值分解
奇异值分解（，縮寫：SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或埃尔米特矩阵基于特征向量的对角化类似，这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。 理論描述 假設M是一個m×n階矩陣，其中的元素全部屬於域K，也就是實數域或複數域。如此則存在一個分解使得 :M = U \Sigma V^, …
主成分分析
，平均值為(1, 3)，標準差在(0.878, 0.478)方向上為3、在其正交方向上為1的主成分分析。黑色的兩個向量是此分布的共變異數矩陣的特征向量，其長度為對應的特征值之平方根，並以分布的平均值為原點。]] 在多變量分析中，主成分分析（，縮寫：）是一種統計分析、簡化數據集的方法。它利用正交变换来对一系列可能相关的变量的观测值进行线性变换，从而投影为一系列线性不相关变量的值，这些不相关变量称为主成分（Principal Compone…
矩阵分解
矩阵分解（', '）是将一个矩阵拆解为数个矩阵的乘积的运算。其依使用目的的不同，可分为几类。 例子 在数值分析，矩阵分解常常用来实现一些矩阵运算的快速算法。 例如，当对线性方程组 A \mathbf{x} = \mathbf{b} 进行求解时，矩阵A可以透过LU分解进行分解。LU分解将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U。相比于原方程A \mathbf{x} = \mathbf{b}，方程组L(U \mathbf{x}) = \math…
科列斯基分解
線性代數中，科列斯基分解（）是指將一個正定的埃爾米特矩陣分解成一個下三角矩陣與其共軛轉置之乘積。這種分解方式在提高代數運算效率、蒙特卡羅方法等場合中十分有用。實數矩陣的科列斯基分解由安德烈-路易·科列斯基最先發明。實際應用中，科列斯基分解在求解線性方程組中的效率約兩倍於LU分解。 描述 對正定埃爾米特矩陣\mathbf{A}進行科列斯基分解，即求矩陣\mathbf{L}使下式成立 :\mathbf{A}=\mathbf{LL}^ 其中，…
QR分解
QR分解法是一種将矩阵分解的方式。這種方式，把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积。QR分解经常用来解线性最小二乘法问题。QR分解也是特定特征值算法即QR算法的基础。 類別及定义 方陣 任何方块矩阵A都可以分解為 : A = QR 其中Q是正交矩阵（意味着QTQ = I）而R是上三角矩阵。如果A是非奇异的，且限定R的对角线元素为正，则这个因数分解是唯一的。 更一般的说，我们可以因数分解复数m×n矩阵（有着m ≥ n）为 m×n幺正…
若尔当标准型
在线性代数中，若尔当标准型（）或若尔当正則式（）是在有限維向量空間上的線性映射的一個特殊的矩陣表達形式，稱作若尔当矩陣（）。 這矩陣接近对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方元素之外，其餘都是零，且主對角線上方的對角線的係數若不為零-{只}-能為1，且這1左方和下方的係數（都在主對角線上）有相同的值。谱定理和正规矩阵都是若尔当标准型的特殊情况，因為可以被對角化(diagonalizable)。若尔当矩阵理论说明了任何一个系数域为\math…
若尔当矩阵
在数学中，特别是矩阵论裡，若尔当矩阵（）是矩阵的一种，又称若尔当块（）（作为另一个矩阵的一部分时）。当矩陣的系数在某个环 R 上时（其中的加法单位元和乘法单位元分别记为0和1），若尔当矩阵可以写成如下形式： :\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots & …
特征分解
线性代数中，特征分解（Eigendecomposition），又称谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。 特征值与特征向量的基础理论 N 维非零向量 v 是 N×N 的矩阵 A 的特征向量，当且仅当下式成立： : \mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} 其中 λ 为一标量，称…
极分解
在数学中，特别是线性代数和泛函分析裡，一个矩阵或线性算子的极分解是一种类似于复数之极坐标分解的分解方法。一个复数 z 可以用它的模长和辐角表示为： :z = r e^{i \theta}\, 其中 r 是 z 的模长（因此是一个正实数），而 \theta 则为 z 的辐角。 矩阵的极分解 一个复系数矩阵 A 的极分解将其分解成两个矩阵的乘积，可以表示为： :A = UP\, 其中 U 是一个酉矩阵，P 是一个半正定的埃尔米特矩阵。这样的…