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克萊姆法則

Wikipedia · 2026-08-02 维基百科 👁 1 阅读

克萊姆法則或克拉瑪公式（）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。

基本方程
一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示：
Ax = c\, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)

其中的A是一个n \times n 的方塊矩陣，而向量 x=( x_1, x_2, \cdots x_n )^T 是一个长度为n的行向量。c=( c_1, c_2, \cdots c_n )^T 也一样。

克莱姆法则说明：如果A是一个可逆矩陣（ \det{A} \neq 0 ），那么方程(1)有解 x=( x_1, x_2, \cdots x_n )^T，其中

x_i = { \det(A_i) \over \det(A)} (1)

当中x_i是列向量x的第i行（行向量与列向量不一样，解释默认列向量）

當中A_i是列向量c取代了A的第i列后得到的矩阵。為了方便，我們通常使用\Delta來表示\det(A)，用\Delta_i來表示\det(A_i)。所以等式(1)可以寫成為：

:x_i = { \Delta_i \over \Delta }\,。

抽象方程
設R為一個環，A就是一個包含R的系數的n\times n矩陣。所以：

:\mathrm{adj}(A)A = \mathrm{det}(A)I\,

當中\det (A)就是A的行列式，以及I就是單位矩陣。

證明概要
对于n元线性方程组
A x = c

把系数矩阵 表示成行向量的形式

A = \left( u_1, u_2, \cdots, u_n\right)

由于系数矩阵可逆，故方程组一定有解x^* = A^{-1} c.

设x^* = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T，即

A x^* = \sum_{k=1}^n x_k u_k = c

考虑\Delta_i的值，利用行列式的線性和交替性質，有

\begin{align}
\Delta_i &= det\left(\cdots, u_{i-1}, c, u_{i+1}, \cdots\right) \\
& = det\left(\cdots, u_{i-1}, \sum_{k=1}^n x_k u_k, u_{i+1}, \cdots\right) \\
& = \sum_{k=1}^n x_k \cdot det\left(\cdots, u_{i-1}, u_k, u_{i+1}, \cdots\right) \\
& = x_i \cdot det\left(\cdots, u_{i-1}, u_i, u_{i+1}, \cdots\right) \\
& = x_i \Delta
\end{align}

于是

x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}

例子
运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。

已知：
:ax + by = {\color{red}e}\,
:cx + dy = {\color{red}f}\,

使用矩陣來表示時就是：
:\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}

当矩阵可逆时，x和y可以從克萊姆法則中得出：
:x = \frac { \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}
:以及
:y = \frac { \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知：
:ax + by + cz = {\color{red}j}\,
:dx + ey + fz = {\color{red}k}\,
:gx + hy + iz = {\color{red}l}\,

當中的矩陣表示為：
:\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}

当矩阵可逆时，可以求出x、y和z：
:x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }、   y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }   以及   z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }

微分幾何上的應用
克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。

先考慮兩條等式F(x, y, u, v) = 0\,和G(x, y, u, v) = 0\,。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我們可定義x = X(u, v)\,和y = Y(u, v)\,。

找出一條等式適合\partial x/\partial u是克萊姆法則的簡單應用。

首先，我們要計算F、G、x和y的導數：
:dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0
:dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0
:dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv
:dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv

將dx和dy代入dF和dG，可得出：
:dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0
:dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0

因為u和v互不相关，所以du和dv的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成：
:\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}
:\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}
:\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}
:\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}

現在用克萊姆法則就可得到：
:
\cfrac{\partial x}{\partial u} = \cfrac{\begin{vmatrix} -\cfrac{\partial F}{\partial u} & \cfrac{\partial F}{\partial y} \\ -\cfrac{\partial G}{\partial u} & \cfrac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cfrac{\partial F}{\partial x} & \cfrac{\partial F}{\partial y} \\ \cfrac{\partial G}{\partial x} & \cfrac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}

用兩個雅可比矩陣來表示的方程：
:\cfrac{\partial x}{\partial u} = - \cfrac{\left(\cfrac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(u, y\right)}\right)}{\left(\cfrac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}

用類似的方法就可以找到\frac{\partial x}{\partial v}，\frac{\partial y}{\partial u}，\frac{\partial y}{\partial v}。

基本代數上的應用
克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理，當中的定理對環理論十分有用。

線性規劃上的應用
克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

缺点
克莱姆法则在电子计算机出现后，被认为是难以实际用于计算的。当使用克莱姆法则计算一个n阶线性方程组时，所需乘法次数为(n+1)! 次。例如求解25阶线性方程组时，总计乘法次数需要26!（即4.03×1026）次，若计算机每秒能计算100亿次，所需时间约12.79亿年。相比之下，高斯消元法只需3060次乘法，对计算机而言易如反掌。

參考文獻
外部链接

#代数定理 #線性代數 #矩阵分解 #行列式计算

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