在数学中，特别是矩阵论裡，若尔当矩阵（）是矩阵的一种，又称若尔当块（）（作为另一个矩阵的一部分时）。当矩陣的系数在某个环 R 上时（其中的加法单位元和乘法单位元分别记为0和1），若尔当矩阵可以写成如下形式：
:\begin{bmatrix}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots& \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \\\end{bmatrix}
其对角线上全都是同一个元素 \lambda \in R，而对角线上一排（即所有第 k 行第 k+1 列）都是 1，其余位置上都是 0。
可以看到只要确定了对角线上的系数\scriptstyle \lambda 和矩阵的大小\scriptstyle n，就确定了一个若尔当矩阵。这样一个若尔当矩阵被记为\displaystyle J_{\lambda, n} 。
如果一个分块对角矩阵的每一个分块都是若尔当块，那么这个矩阵叫做若尔当形矩阵，或若尔当标准型。例如以下矩阵：
:J = \begin{bmatrix}
J_{\lambda_{1}, m_1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{\lambda_{2}, m_2} & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots& \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & J_{\lambda_{s-1}, m_{s-1}} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & J_{\lambda_{s}, m_s} \\\end{bmatrix}
以上的若尔当形矩阵也可以记成J=J_{\lambda_1,m_1}\oplus J_{\lambda_2,m_2} \oplus\ldots\oplus J_{\lambda_N,m_N}
若尔当矩阵\displaystyle J_{\lambda, n} 可以分解为
:J_{\lambda, n} = \lambda I_n + N
其中 I_n 是 n 階的单位矩阵，而 N 则是一个幂零矩阵：
::N = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
矩阵 N 滿足 N^n = 0。
参见
- 若尔当-谢瓦列分解
- 若尔当标准型
- 全纯函数
- 矩阵指数
- 矩阵对数
- 动态系统
- 分歧理论
- 状态空间
参考来源
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