希尔伯特-施密特算子
在数学中，一个希尔伯特-施密特算子()（得名于大卫·希尔伯特和埃哈德·施密特）, 是希尔伯特空间H上的有界算子A，有有限的希尔伯特-施密特范数 : \|A\|^2_{HS}={\rm Tr} (A^{}A) := \sum_{i \in I} \|Ae_i\|^2 ， 其中\|\ \|是H上的范数，\{e_i : i\in I\} 是H上的一组标准正交基，Tr是非负自伴算子的迹。这里指标集不一定可数。这个定义不依赖于基底的选择，所以有 …
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共 33 篇文章
卡迪森-辛格問題
数学上，卡迪森-辛格問題（）於1959年提出，有關泛函分析，問某個特定C-代数上的任意線性泛函，延拓到另一個較大的C-代數時，是僅有唯一的可能，抑或可以有多個不同的延拓。2013年，問題得到解決，答案為肯定（即唯一）。 問題源出1940年代保罗·狄拉克對量子力学理論基礎的研究。1959年，與艾沙道尔·辛格給出嚴格的問題敍述。此後，發現純數學、應用數學、工程學、電腦科學等學科的多個未解問題，皆與卡迪森-辛格問題等價。，然而於2013年，、…
奥斯特洛夫斯基定理
奥斯特洛夫斯基定理（）是一个关于有理数域绝对赋值的定理。于1916年由亚历山大·奥斯特洛夫斯基证明。该定理说明，任何非平凡的有理数Q的绝对赋值要么等价于通常实数域的绝对赋值，要么等价于p进数的绝对赋值。 定义 定义两个绝对赋值|\cdot| 和|\cdot|_{\ast} 是等价的，如果存在一个实数c>0，使得： :\forall x \in \mathbb{K} , \; \;|x|_{\ast} = |x|^{c} . 这是比两绝对…
克雷洛夫子空间
线性代数中，由n阶方阵A与n维向量b生成的r阶克雷洛夫子空间是b在A的前r次幂下（始于A^0=I）的列空间张成的线性子空间，即 :\mathcal{K}_r(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{r-1}b \}. 背景 这一概念得名于苏联应用数学家、海军工程师Alexei Krylov，他在1931年发表了一篇关于这一概念的论文。 性质 \mathcal{K}…
奇异值
数学中，特别是泛函分析中，作用于希尔伯特空间X、Y之间的紧算子T: X \rightarrow Y的奇异值是自伴算子T^T（T^表示T的伴随）的非负特征值的平方根。 奇异值是非负实数，一般按递减顺序排列（\sigma_1(T),\ \sigma_2(T),\dots）。最大的奇异值\sigma_1(T)等于T的算子范数（见极小-极大定理）。 矩阵M的奇异值分解可视化。首先，可见蓝色的单位圆盘与2个标准基向量；然后，可见M的作用：将圆盘扭…
部分等距映射
在数学的分支泛函分析中，部分等距映射是希尔伯特空间之间的一种线性映射，它在核的正交补上的限制是一个等距映射。 其核的正交补称为始子空间，其值域称为终子空间。本文中，算子 W 的始、终子空间分别记作 \mathcal{I}W,\mathcal{F}W 。 一般定义 部分等距的概念可以用其他等价的方式定义。设 H_1 是希尔伯特空间 H 的一个闭子集 ，而 U 是 H_1 上的等距映射，则我们可以定义 U 到 H 的一个扩张 W ， W 在…
紧算子
在数学分支泛函分析中，一个紧算子()是从巴拿赫空间X到另一个巴拿赫空间Y的线性算子L，使得在L的作用下X的任意有界子集的像集是Y的相对紧子集。这样的算子必然是有界算子，因此是连续的。 任意有限秩的有界算子L是紧算子；事实上，紧算子是有限秩算子在无限维情形下的自然推广。当Y是希尔伯特空间时，任意紧算子都是有限秩算子的极限，因此紧算子集合可以被替换地定义为有限秩算子在算子范数意义下的闭包。这一性质对于巴拿赫空间（渐进性）是否成立是多年来未解…
冯·诺伊曼代数
数学中，冯·诺伊曼代数（）或*W-代数*（）是希尔伯特空间上有界算子的-代数，在弱算子拓扑中封闭，并包含恒等算子，是一类特殊的C-代数。 冯·诺伊曼代数由约翰·冯·诺依曼提出，源于对单算子、群表示论、遍历理论和量子力学的研究。冯·诺伊曼双连续定理表明，解析定义等同于作为对称性代数的纯代数定义。 冯·诺伊曼代数的两个基本例子： 实线上本质有界的可测函数环L^\infty(\mathbb R)是交换冯·诺伊曼代数，其元素在平方可积函数的希尔…
迹类算子
在数学中，迹类算子（）是一个满足如下条件的紧算子，可以为其定义迹，使得迹有限且与基底的选择无关。迹类算子本质上与核型算子相同，但是许多作者将希尔伯特空间上的核型算子这一特殊情况称为“迹类算子”，而将“核型算子”用于更一般的巴拿赫空间。 定义 模拟矩阵的定义，在可分希尔伯特空间H上的有界线性算子A被称为属于迹类，如果对于H的所有标准正交基{ek}k : \|A\|_1= {\rm Tr}|A|:=\sum_k \langle (A^A)^…
聽出鼓的形狀
，因此敲擊發出的音色將具有相同的泛音。此例子由下文的戈登、韋伯，以及沃爾珀特給出。留意兩個多邊形具有相同的面積和周長]] 從鼓的音色（即其泛音列），利用數學理論，來獲取鼓膜形狀的信息，謂之聽出鼓的形狀。美國數學月刊於1966年刊登了馬克·卡克的論文〈能否聽出鼓的形狀？〉，問題由給出。此數學問題可回溯至赫尔曼·外尔。 卡克1966年的論文使此問題廣為人知。他因為該論文於1967年獲，並於1968年獲。 鼓膜可以振動的頻率取決於其形狀。假若…
沙滕范数
泛函分析中，沙滕范数（Schatten norm，或沙滕–冯·诺依曼范数，Schatten–von-Neumann norm）来自p-可积的推广，与迹类范数、希尔伯特-施密特范数相似。 定义 令H_1,\ H_2是希尔伯特空间，T:\ H_1\to H_2是（线性）有界算子。对p\in [1,\infty)，定义T的沙滕p-范数为 : \|T\| _p = [\operatorname{Tr} (|T|^p)]^{1/p}, 其中|T|…
粒子數算符
在量子力學中，粒子數算符（）是在無法精確觀測粒子數的系統中，用來計算可以量測到的粒子數目。 符號 大小 N=升算符*降算符 見階梯算符、創生及消滅算符 引述 參考資料
科列斯基分解
線性代數中，科列斯基分解（）是指將一個正定的埃爾米特矩陣分解成一個下三角矩陣與其共軛轉置之乘積。這種分解方式在提高代數運算效率、蒙特卡羅方法等場合中十分有用。實數矩陣的科列斯基分解由安德烈-路易·科列斯基最先發明。實際應用中，科列斯基分解在求解線性方程組中的效率約兩倍於LU分解。 描述 對正定埃爾米特矩陣\mathbf{A}進行科列斯基分解，即求矩陣\mathbf{L}使下式成立 :\mathbf{A}=\mathbf{LL}^ 其中，…
有限秩算子
泛函分析中，有限秩算子（）是巴拿赫空间之间，像的维数有限的有界线性算子。 希爾伯特空間中 典範型 有限秩算子類似有限大小的矩陣，但是放在無窮維空間中。於是，可藉線性代數技巧刻畫其性質。 由線性代數知，複矩陣M \in \mathbb C^{n \times m}之秩為1，當且僅當M可以寫成： :M = \alpha \cdot u v^ 其中 \|u \| = \|v\| = 1 且 \alpha \geq 0 同樣可證希氏空間H上，算…
伯格曼空间
在复分析、泛函分析和算子理论中，伯格曼空间（）是指在复平面的某个区域 D 内的全纯函数空间，这些函数在边界处足够良好，以至于它们是绝对可积的，该空间以斯蒂芬·伯格曼（Stefan Bergman）的名字命名。具体来说，对于，伯格曼空间 是指在区域D内所有范数有限的全纯函数所组成的空间： : \|f\|_{A^p(D)} := \left(\int_D |f(x+iy)|^p\,\mathrm dx\,\mathrm dy\right)^…
不变子空间
数学上，一个从某个线性空间 V 到自身的线性变换 : T : V \rightarrow V 的不变子空间是V的一个子空间W使得T(W)包含于W。T的一个不变子空间也称为是 T－不变的。 若W为T－不变，我们限制T到W上得到一个新的线性变换 :T|W : W \rightarrow W 不变子空间的存在使得对于T的研究变得更为简单。 当然 V 本身，和子空间{0}，是每个线性算子T : V \rightarrow V的平凡不变子空间。对…
幺正算符
在泛函分析中，幺正算符（，或称酉算符）是定义在希尔伯特空间上的有界线性算符 U : H \rightarrow H，满足如下规律： :U^U=UU^=I 其中 U^ 是 U 的厄米转置, 而 I:H\rightarrow H 是恒等算符。 幺正算符具有如下性质： #U 保持了希尔伯特空间上内积〈 , 〉的不变性, 即对于希尔伯特空间上的任意矢量 x 和 y,都有：\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y…
施图姆-刘维尔理论
在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆和约瑟夫·刘维尔的名字命名的施图姆-刘维尔方程（）是指二阶线性实微分方程： {{NumBlk||\frac{d}{dx}\!\!\left[\,p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y = -\lambda\, w(x)y, |}} 其中给定系数函数, , 和均为已知函数，和是以为自由变量的未知的待求解函数，称为解；\lambda是一个未定常数。又记为，称为'权（w…
埃尔米特伴随
數學中，特別是算子理論中，每個內積空間中的線性算子 A 都個有一個對應的伴隨算子（），記作 A^，伴隨算子可由以下關係定義 : \langle Ax, y \rangle = \langle x, A^y \rangle 其中 \langle \cdot, \cdot \rangle 是向量空間中的內積。 算子 A 的伴隨 A^ 亦可稱作埃尔米特伴随（），以夏尔·埃尔米特命名。在物理學，尤其是量子力學中，算子 A 的埃尔米特伴随常被記作…
算子理论
数学中，算子理论（operator theory）是对函数空间上线性算子的研究，始于微分算子和积分算子。算子可按特征抽象地表示，例如有界线性算子和闭算子，也可以考虑非线性算子。研究在很大程度上依赖于函数空间的拓扑，是泛函分析的分支。 若算子集合构成域上的代数，则就是算子代数。对算子代数的描述是算子理论的一部分。 单算子理论 单算子理论涉及算子的性质与分类，如据谱分类正规算子。 算子的谱 谱定理是关于线性算子或矩阵的一系列结果中的任意一个…