在数学中，一个希尔伯特-施密特算子()（得名于大卫·希尔伯特和埃哈德·施密特）, 是希尔伯特空间H上的有界算子A，有有限的希尔伯特-施密特范数
: \|A\|^2_{HS}={\rm Tr} (A^{*}A) := \sum_{i \in I} \|Ae_i\|^2 ，
其中\|\ \|是H上的范数，\{e_i : i\in I\} 是H上的一组标准正交基，Tr是非负自伴算子的迹。这里指标集不一定可数。这个定义不依赖于基底的选择，所以有
: \|A\|^2_{HS}=\sum_{i,j} |A_{i,j}|^2 = \|A\|^2_2，
其中A_{i,j}=\langle e_i, Ae_j \rangle，\|A\|_2为A在p = 2时的。在欧几里得空间中，\|\ \|_{HS}也被称为弗罗贝尼乌斯范数，得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。
两个希尔伯特-施密特算子的乘积有有限的迹类范数；因此，如果A和B是两个希尔伯特-施密特算子，希尔伯特-施密特内积可以如下定义
: \langle A,B \rangle_\mathrm{HS} = \operatorname{Tr} (A^*B)
= \sum_{i} \langle Ae_i, Be_i \rangle。
希尔伯特-施密特算子构成一个H上的有界算子的Banach代数的双边*理想。它们构成一个希尔伯特空间，可以证明自然等距同构到
: H^* \otimes H，
其中H∗是H的对偶空间。
希尔伯特-施密特算子的集合在范数拓扑下是闭集，当且仅当H是有限维空间。
一类重要的例子是。
希尔伯特-施密特算子是二阶，因此是紧的。
另请参阅
*
参考文献
评论 (0)