线性代数中，由n阶方阵A与n维向量b生成的r阶克雷洛夫子空间是b在A的前r次幂下（始于A^0=I）的列空间张成的线性子空间，即
:\mathcal{K}_r(A,b) = \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{r-1}b \}.
背景
这一概念得名于苏联应用数学家、海军工程师Alexei Krylov，他在1931年发表了一篇关于这一概念的论文。
性质
- \mathcal{K}_r(A,b), A\,\mathcal{K}_r(A,b)\subset \mathcal{K}_{r+1}(A,b).
- 令r_0 = \operatorname{dim} \operatorname{span} \, \{ b, Ab, A^2b, \ldots \}，则\{ b, Ab, A^2b, \ldots, A^{r-1}b \}是线性无关的，除非\forall r>r_0,\ \mathcal{K}_r(A,b) \subset \mathcal{K}_{r_0}(A,b)，\operatorname{dim} \mathcal{K}_{r_0}(A,b) = r_0。因此r_0是克雷洛夫子空间\mathcal{K}_r(A,b)的最大维度。
- 最大维度满足r_0\leq 1 + \operatorname{rank} A ,\ r_0 \leq n.
- 考虑\dim \operatorname{span} \, \{ I, A, A^2, \ldots \} = \deg\,p(A)，其中p(A)是A的极小多项式。我们有r_0\leq \deg\,p(A)。此外\forall A,\ \exists b，对它来说此约束是紧密的，即r_0 = \deg\,p(A)。
- \mathcal{K}_r(A,b) 是由b产生的扭化k[x]-模(k^n)^A的循环子模，其中k^n是k上的线性空间。
- k^n可分解为克雷洛夫子空间的直和。
使用
克雷洛夫子空间用于寻找高维线性代数问题的近似解。
阿诺德迭代法等现代迭代法可用于寻找大型稀疏矩阵的特征值，或求解大型线性方程组。这些方法尽量避免矩阵间的运算，而将向量与矩阵相乘。从向量b开始，可以计算A b，然后将向量与A相乘，求得A^2 b等等。所有这样的算法都称作克雷洛夫子空间方法，是目前数值线性代数中最成功的方法之一。这些方法可用于能计算矩阵-向量乘法而无A的显式表示的情形，从而产生了无矩阵法。
问题
由于幂迭代的特性，向量很快就会变得近乎线性相关，因此依赖于克雷洛夫子空间的方法经常要正交化，例如厄米矩阵的兰佐斯算法或更一般矩阵的阿诺德迭代法。
现有方法
最著名的克雷洛夫法有共轭梯度法、诱导降维法、广义最小残量方法、稳定双共轭梯度法、准最小残差法、无转置准最小残差法、最小残差法等等。
另见
- 迭代法
参考文献
阅读更多
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- Gerard Meurant and Jurjen Duintjer Tebbens: ”Krylov methods for nonsymmetric linear systems - From theory to computations”, Springer Series in Computational Mathematics, vol.57, (Oct. 2020). , url=https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0.
- Iman Farahbakhsh: "Krylov Subspace Methods with Application in Incompressible Fluid Flow Solvers", Wiley, (Sep., 2020).
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