在数学的分支泛函分析中，部分等距映射是希尔伯特空间之间的一种线性映射，它在核的正交补上的限制是一个等距映射。
其核的正交补称为始子空间，其值域称为终子空间。本文中，算子 W 的始、终子空间分别记作 \mathcal{I}W,\mathcal{F}W 。
一般定义
部分等距的概念可以用其他等价的方式定义。设 H_1 是希尔伯特空间 H 的一个闭子集 ，而 U 是 H_1 上的等距映射，则我们可以定义 U 到 H 的一个扩张 W ， W 在 H_1 的正交补上的值为零。因此，部分等距有时也被定义在闭集上局部定义了的等距映射。
基于，可以用更为抽象的方式来定义部分等距（以及投影），该定义与上文的定义是重合的。
有限维情况的特性
在有限维向量空间中，矩阵 A 是一个部分等距当且仅当 A^A 是到其支撑集的投影。相比之下，等距映射的定义是更强的：矩阵 V 是一个等距映射当且仅当 V^ V=I 。换句话说，等距对称是一种单射的部分等距映射。
通过选择适当的基，任何有限维的部分等距映射都可以表示为形如 A=\begin{pmatrix}V & 0\end{pmatrix} 的矩阵，也就是说，其前 \operatorname{rank}(A) 列表示了一个等距映射，而所有其他列则都为零。
注意对于任何等距映射 V ，其埃尔米特共轭 V^* 都是一个部分等距映射，尽管并非每个部分等距映射都具有这种形式。
算子代数
在算子代数中，可用下面的方式{{Explain|reason=缺乏\mathcal{R}的记号说明。推测为值域。}}引入始子空间和终子空间：
: \mathcal{I}W:=\mathcal{R}W^W,\,\mathcal{F}W:=\mathcal{R}WW^.
C*-代数
对于C-代数，由于C-性质，存在等价链：
: (W^W)^2=W^W\iff WW^W=W\iff W^WW^=W^\iff(WW^)^2=WW^
因此可由上式中的任意一条来定义部分等距，而到始、终子空间的投影分别为 W^W,WW^ 。
一对按等价关系划分的投影：
: P=W^W,\,Q=WW^
它在C*-代数的K-理论和冯诺依曼代数中的Murray-冯诺依曼投影理论中发挥着重要作用。
几类重要的部分等距映射
投影算子
任何正交投影算子都是始、终子空间为同一子空间的部分等距：
: P:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}:\quad\mathcal{I}P=\mathcal{F}P
嵌入映射
任何等距嵌入映射都是始子空间为全空间的部分等距：
: J:\mathcal{H}\hookrightarrow\mathcal{K}:\quad\mathcal{I}J=\mathcal{H}
幺正算子
任何幺正算子都是始、终子空间为全空间的部分等距：
: U:\mathcal{H}\leftrightarrow\mathcal{K}:\quad\mathcal{I}U=\mathcal{H},\,\mathcal{F}U=\mathcal{K}
例子
幂零矩阵
在二维复希尔伯特空间上的矩阵
: \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
是一个部分等距，其始子空间为
: \{0\} \oplus \mathbb{C}
而终子空间为
: \mathbb{C} \oplus \{0\}.
一般有限维示例
有限维中的其他可能例子有A\equiv \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\\0&0&0\end{pmatrix}.这显然不是等距映射，因为列之间不正交。然而，它的支撑集是 \mathbf e_1\equiv (1,0,0) 和 \frac{1}{\sqrt2}(\mathbf e_2+\mathbf e_3)\equiv (0,1/\sqrt2,1/\sqrt2) 的线性生成空间，若将 A 限制在这个空间上，就得到一个等距映射（特别地，也是一个幺正算子）。类似地，可以验证 A^ A= \Pi_{\operatorname{supp}(A)} ，也就是说 A^ A 是到其支撑集上的投影。部分等距不一定对应于方阵。例如，A\equiv \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac12&\frac12\\ 0 & 0 & 0 \\ 0& \frac12 & \frac12\end{pmatrix}.该矩阵的支撑集由 \mathbf e_1\equiv (1,0,0)和\mathbf e_2+\mathbf e_3\equiv (0,1,1) 张成，并在该子空间上成为一等距映射（特别地，是其上的恒等映射）。
还有一个例子A = \begin{pmatrix}0 & \frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt2} \\ 1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},这次 A 在其支撑集上表现为一个非平凡的等距映射。
容易验证 A\mathbf e_1=\mathbf e_2 以及 A \left(\frac{\mathbf e_2 + \mathbf e_3}{\sqrt2}\right) = \mathbf e_1 ，这表明了 A 在其支撑集 \operatorname{span}(\{\mathbf e_1, \mathbf e_2+\mathbf e_3\}) 与其值域 \operatorname{span}(\{\mathbf e_1,\mathbf e_2\}) 间的等距性质。
左平移和右平移
平方可和序列空间上的左平移和右平移算子
: R:\ell^2(\mathbb{N})\to\ell^2(\mathbb{N}):(x_1,x_2,\ldots)\mapsto(0,x_1,x_2,\ldots)
: L:\ell^2(\mathbb{N})\to\ell^2(\mathbb{N}):(x_1,x_2,\ldots)\mapsto(x_2,x_3,\ldots)
有下列关系
: R^*=L.
而左平移和右平移算子是部分等距映射，其始子空间由以下向量构成
: LR(x_1,x_2,\ldots)=(x_1,x_2,\ldots)
其终子空间则是：
: RL(x_1,x_2,\ldots)=(0,x_2,\ldots).
参考资料
*
*
*
*
*
外部链接
评论 (0)